東京大学 2014年 理系 第6問 解説

方針・初手

点 $P, Q$ はそれぞれ指定された半直線上にあり、原点からの距離の和が一定であることから、それぞれの原点からの距離 $OP, OQ$ をパラメータとして設定する。 線分 $PQ$ の方程式を求め、さらに点 $(s, t)$ がこの線分上にある条件を、パラメータに関する条件として定式化する。 特定の $s$ の値に対して、パラメータがとり得る範囲を動くときの $t$ の最大値・最小値を求めることで、通過領域をあぶり出す。

解法1

線分 $OP$ の長さを $p$、線分 $OQ$ の長さを $q$ とおく。 点 $P$ は直線 $y = \sqrt{3}x \ (x \geqq 0)$ 上にあるので、偏角は $60^\circ$ であり、その座標は

$$ P \left( p \cos 60^\circ, p \sin 60^\circ \right) = \left( \frac{p}{2}, \frac{\sqrt{3}p}{2} \right) $$

と表せる。点 $P$ の $x$ 座標の条件 $0 \leqq \frac{p}{2} \leqq 2$ より、 $0 \leqq p \leqq 4$ である。

同様に、点 $Q$ は直線 $y = -\sqrt{3}x \ (x \leqq 0)$ 上にあるので、偏角は $120^\circ$ であり、その座標は

$$ Q \left( q \cos 120^\circ, q \sin 120^\circ \right) = \left( -\frac{q}{2}, \frac{\sqrt{3}q}{2} \right) $$

と表せる。点 $Q$ の $x$ 座標の条件 $-2 \leqq -\frac{q}{2} \leqq 0$ より、 $0 \leqq q \leqq 4$ である。

条件より $OP + OQ = p + q = 6$ であるから、$q = 6 - p$ となる。 $0 \leqq q \leqq 4$ に代入して $0 \leqq 6 - p \leqq 4$ となり、これと $0 \leqq p \leqq 4$ をあわせると、$p$ のとり得る値の範囲は

$$ 2 \leqq p \leqq 4 $$

となる。

次に、線分 $PQ$ 上の点を $(X, Y)$ とおく。 直線 $PQ$ の傾き $m$ は

$$ m = \frac{\frac{\sqrt{3}p}{2} - \frac{\sqrt{3}q}{2}}{\frac{p}{2} - \left( -\frac{q}{2} \right)} = \sqrt{3} \frac{p - q}{p + q} $$

ここで $p + q = 6, q = 6 - p$ を用いると

$$ m = \frac{\sqrt{3} (2p - 6)}{6} = \frac{p - 3}{\sqrt{3}} $$

となる。したがって、直線 $PQ$ の方程式は

$$ Y - \frac{\sqrt{3}p}{2} = \frac{p - 3}{\sqrt{3}} \left( X - \frac{p}{2} \right) $$

両辺に $2\sqrt{3}$ を掛けて整理すると

$$ 2\sqrt{3}Y - 3p = 2(p - 3)X - p(p - 3) $$

$$ 2\sqrt{3}Y = -p^2 + 2(X + 3)p - 6X $$

を得る。 また、点 $(X, Y)$ が線分 $PQ$ 上にあるための $X$ の条件は、点 $Q$ と点 $P$ の $x$ 座標の間にあることだから、

$$ -\frac{q}{2} \leqq X \leqq \frac{p}{2} $$

$q = 6 - p$ を代入して

$$ \frac{p - 6}{2} \leqq X \leqq \frac{p}{2} $$

$$ p - 6 \leqq 2X \leqq p $$

これを $p$ について解くと

$$ 2X \leqq p \leqq 2X + 6 $$

となる。

(1) 点 $(s, t)$ が領域 $D$ に入る条件は、以上の直線の方程式と範囲に $(X, Y) = (s, t)$ を代入したものが、ある $p \ (2 \leqq p \leqq 4)$ に対して成り立つことである。 すなわち、$2 \leqq p \leqq 4$ の範囲に、

$$ 2\sqrt{3}t = -p^2 + 2(s + 3)p - 6s $$

かつ

$$ 2s \leqq p \leqq 2s + 6 $$

を満たす $p$ が存在することである。

$s$ は $0 \leqq s \leqq 2$ の範囲にある実数とする。 このとき、$2s + 6 \geqq 6$ であるため、$p \leqq 4$ であれば自動的に $p \leqq 2s + 6$ は満たされる。 よって、満たすべき $p$ の範囲は

$$ \max(2, 2s) \leqq p \leqq 4 $$

となる。 ここで、右辺の $p$ の関数を $g(p) = -p^2 + 2(s + 3)p - 6s$ とおく。 平方完成すると

$$ g(p) = - \left( p - (s + 3) \right)^2 + (s + 3)^2 - 6s = - \left( p - (s + 3) \right)^2 + s^2 + 9 $$

となり、放物線 $y = g(p)$ の軸は $p = s + 3$ である。

(i) $0 \leqq s \leqq 1$ のとき $p$ の範囲は $2 \leqq p \leqq 4$ である。 軸 $p = s + 3$ は $3 \leqq s + 3 \leqq 4$ であり、区間 $2 \leqq p \leqq 4$ に含まれる。 したがって、$g(p)$ の最大値は頂点における値 $g(s + 3) = s^2 + 9$ である。 最小値については、区間の端点 $p = 2$ と $p = 4$ を調べる。軸 $p = s + 3$ は区間の中点 $3$ 以上にあるため、軸から遠い方の端点は $p = 2$ である。

$$ g(2) = -4 + 4(s + 3) - 6s = -2s + 8 $$

よって、$g(p)$ のとり得る値の範囲は $-2s + 8 \leqq g(p) \leqq s^2 + 9$ となる。 $g(p) = 2\sqrt{3}t$ より

$$ -2s + 8 \leqq 2\sqrt{3}t \leqq s^2 + 9 $$

$$ \frac{-s + 4}{\sqrt{3}} \leqq t \leqq \frac{s^2 + 9}{2\sqrt{3}} $$

(ii) $1 \leqq s \leqq 2$ のとき $p$ の範囲は $2s \leqq p \leqq 4$ である。 軸 $p = s + 3$ は $4 \leqq s + 3 \leqq 5$ であり、区間 $2s \leqq p \leqq 4$ の右端 $4$ 以上にある。 したがって、この区間において $g(p)$ は単調増加する。 最大値は $p = 4$ のときであり、

$$ g(4) = -16 + 8(s + 3) - 6s = 2s + 8 $$

最小値は $p = 2s$ のときであり、

$$ g(2s) = -4s^2 + 4s(s + 3) - 6s = -4s^2 + 4s^2 + 12s - 6s = 6s $$

よって、$g(p)$ のとり得る値の範囲は $6s \leqq g(p) \leqq 2s + 8$ となる。 $g(p) = 2\sqrt{3}t$ より

$$ 6s \leqq 2\sqrt{3}t \leqq 2s + 8 $$

$$ \sqrt{3}s \leqq t \leqq \frac{s + 4}{\sqrt{3}} $$

以上より、$t$ の範囲が求まった。

(2) 領域 $D$ は、線分 $PQ$ の通過する領域である。 問題の条件「点 $P$ は $y = \sqrt{3}x \ (x \geqq 0)$ 上、点 $Q$ は $y = -\sqrt{3}x \ (x \leqq 0)$ 上にあり、$OP + OQ = 6$」について、全体を $y$ 軸に関して対称移動させると、点 $P$ はもとの点 $Q$ が動く線分上に、点 $Q$ はもとの点 $P$ が動く線分上に移る。$OP + OQ = 6$ という条件も変わらないため、線分 $PQ$ 全体の集合は $y$ 軸に関して対称となる。

したがって、領域 $D$ は $y$ 軸対称な図形である。

(1) の結果において、$s, t$ を $x, y$ と読み替えることで、$x \geqq 0$ における領域の不等式が得られる。これを $y$ 軸対称に拡張すると、以下のようになる。

上側の境界線： $0 \leqq x \leqq 1$ において $y = \frac{x^2 + 9}{2\sqrt{3}}$ $1 \leqq x \leqq 2$ において $y = \frac{x + 4}{\sqrt{3}}$ これを $y$ 軸対称にすると、 $-1 \leqq x \leqq 0$ において $y = \frac{x^2 + 9}{2\sqrt{3}}$ $-2 \leqq x \leqq -1$ において $y = \frac{-x + 4}{\sqrt{3}}$

下側の境界線： $0 \leqq x \leqq 1$ において $y = \frac{-x + 4}{\sqrt{3}}$ $1 \leqq x \leqq 2$ において $y = \sqrt{3}x$ これを $y$ 軸対称にすると、 $-1 \leqq x \leqq 0$ において $y = \frac{x + 4}{\sqrt{3}}$ $-2 \leqq x \leqq -1$ において $y = -\sqrt{3}x$

これらの境界線で囲まれた領域を図示すればよい。

解説

通過領域を求める問題の典型的な解法には、大きく分けて「逆像法（実数解の存在条件に帰着させる）」と「順像法（ファクシミリの原理：1文字を固定して値域を調べる）」がある。 本解法では、点 $(X, Y)$ の $X$ 座標を $s$ と固定し、パラメータ $p$ が動くときの $Y$ 座標 $t$ の値域を調べる「順像法」のアプローチを採用した。 パラメータ $p$ には「原点からの距離の上限・下限からくる条件（$2 \leqq p \leqq 4$）」と「線分上の点であるための条件（$2s \leqq p \leqq 2s + 6$）」の2種類の制限がかかるため、固定した $s$ の値によって $p$ の変域が変わることに注意して場合分けを行うのがポイントである。 また、図形の対称性に気づくことで、$x \leqq 0$ の範囲の計算を省略できる。

答え

(1)

$0 \leqq s \leqq 1$ のとき、

$$ \frac{-s + 4}{\sqrt{3}} \leqq t \leqq \frac{s^2 + 9}{2\sqrt{3}} $$

$1 \leqq s \leqq 2$ のとき、

$$ \sqrt{3}s \leqq t \leqq \frac{s + 4}{\sqrt{3}} $$

(2)

領域 $D$ は $y$ 軸対称な図形であり、以下の不等式を満たす領域（境界線を含む）を図示したものになる。

$$ \begin{cases} \text{$-2 \leqq x \leqq -1$ のとき} & -\sqrt{3}x \leqq y \leqq \frac{-x + 4}{\sqrt{3}} \\ \text{$-1 \leqq x \leqq 1$ のとき} & \frac{|x| + 4}{\sqrt{3}} \leqq y \leqq \frac{x^2 + 9}{2\sqrt{3}} \\ \text{$1 \leqq x \leqq 2$ のとき} & \sqrt{3}x \leqq y \leqq \frac{x + 4}{\sqrt{3}} \end{cases} $$

（具体的な図の特徴：領域の頂点は $(2, 2\sqrt{3}), (1, \sqrt{3}), (0, \frac{4\sqrt{3}}{3}), (-1, \sqrt{3}), (-2, 2\sqrt{3})$ および、放物線の頂点 $(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ を結ぶように囲まれた図形となる。）