東京大学 2014年 文系 第3問 解説

方針・初手

点 $P$、$Q$ をそれぞれ1つのパラメータ（例えば $P$ の $x$ 座標）を用いて表し、線分 $PQ$ の方程式を求める。 線分 $PQ$ が通過する領域 $D$ は、線分上の点を $(s, t)$ とおき、$s$ を固定してパラメータを動かしたときの $t$ のとりうる値の範囲を求める「ファクシミリの原理（順像法）」を用いることで得られる。

解法1

点 $P$ は直線 $y = \sqrt{3}x$ ($0 \leqq x \leqq 2$) 上にあるので、$P(p, \sqrt{3}p)$ ($0 \leqq p \leqq 2$) とおける。 このとき、原点 $O$ との距離は $p \geqq 0$ であるから、

$$ OP = \sqrt{p^2 + (\sqrt{3}p)^2} = \sqrt{4p^2} = 2p $$

となる。 点 $Q$ は直線 $y = -\sqrt{3}x$ ($-3 \leqq x \leqq 0$) 上にあるので、$Q(q, -\sqrt{3}q)$ ($-3 \leqq q \leqq 0$) とおける。 同様に、$q \leqq 0$ であるから、

$$ OQ = \sqrt{q^2 + (-\sqrt{3}q)^2} = \sqrt{4q^2} = -2q $$

となる。

線分 $OP$ と線分 $OQ$ の長さの和が $6$ であるから、

$$ 2p - 2q = 6 \iff q = p - 3 $$

が成り立つ。 $q$ の範囲 $-3 \leqq q \leqq 0$ にこれを代入すると、$-3 \leqq p - 3 \leqq 0$ より $0 \leqq p \leqq 3$ となるが、$p$ は $0 \leqq p \leqq 2$ も満たす必要があるため、共通範囲をとって $p$ のとりうる範囲は

$$ 0 \leqq p \leqq 2 $$

となる。 これにより、点 $Q$ の座標は $(p-3, -\sqrt{3}(p-3))$ と表せる。

(1)

線分 $PQ$ 上の点を $(s, t)$ とおく。 線分 $PQ$ を表す直線の方程式は、$p$ を用いて表すと、傾きが

$$ \frac{\sqrt{3}p - \{-\sqrt{3}(p-3)\}}{p - (p-3)} = \frac{2\sqrt{3}p - 3\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}(2p - 3) $$

であるから、

$$ t - \sqrt{3}p = \frac{\sqrt{3}}{3}(2p - 3)(s - p) $$

と表される。 これを $t$ について整理すると、

$$ \begin{aligned} t &= \frac{\sqrt{3}}{3}(2ps - 2p^2 - 3s + 3p) + \sqrt{3}p \\ &= -\frac{2\sqrt{3}}{3}p^2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}(s+3)p - \sqrt{3}s \end{aligned} $$

となる。この右辺を $f(p)$ とおく。

また、点 $(s, t)$ は線分 $PQ$ 上にあるため、$x$ 座標について、点 $Q$ と点 $P$ の間に存在する。すなわち、

$$ p - 3 \leqq s \leqq p \iff s \leqq p \leqq s + 3 $$

が成り立つ。 もともとの $p$ の条件 $0 \leqq p \leqq 2$ と合わせると、$p$ が存在しうる範囲は、

$$ \max(0, s) \leqq p \leqq \min(2, s+3) $$

となる。 $s$ を固定し、$p$ がこの範囲を動くときの $f(p)$ のとりうる値の範囲が、求める $t$ の範囲である。

関数 $f(p)$ を平方完成すると、

$$ f(p) = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \left( p - \frac{s+3}{2} \right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{6}(s^2 + 9) $$

となり、上に凸の放物線で、軸は直線 $p = \frac{s+3}{2}$ である。

$s$ の与えられた範囲 $-3 \leqq s \leqq 2$ において、区間の端点と軸の位置関係により場合分けを行う。 端点として現れる値での $f(p)$ の値は以下の通り計算できる。

$$ \begin{aligned} f(0) &= -\sqrt{3}s \\ f(s+3) &= -\sqrt{3}s \\ f(s) &= \sqrt{3}s \\ f(2) &= \frac{\sqrt{3}}{3}(s+4) \end{aligned} $$

(i) $-3 \leqq s \leqq -1$ のとき

$p$ の区間は $0 \leqq p \leqq s+3$ である。 軸 $p = \frac{s+3}{2}$ は区間 $[0, s+3]$ の中央に位置するため、最大値は頂点、最小値は両端点でとる。 よって $t$ の範囲は、

$$ -\sqrt{3}s \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{6}(s^2+9) $$

となる。

(ii) $-1 \leqq s \leqq 0$ のとき

$p$ の区間は $0 \leqq p \leqq 2$ である。 軸 $p = \frac{s+3}{2}$ について、$1 \leqq \frac{s+3}{2} \leqq \frac{3}{2}$ であり、区間内に含まれる。 区間の中点 $1$ に対して、軸は常に中点かそれより右側にあるため、軸から遠い左端 $p = 0$ で最小値をとる。 よって $t$ の範囲は、

$$ -\sqrt{3}s \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{6}(s^2+9) $$

となる。

(iii) $0 \leqq s \leqq 2$ のとき

$p$ の区間は $s \leqq p \leqq 2$ である。 軸 $p = \frac{s+3}{2}$ と区間の中点 $\frac{s+2}{2}$ について、

$$ \frac{s+3}{2} - \frac{s+2}{2} = \frac{1}{2} > 0 $$

より、常に軸の方が右側にあるため、最小値は常に左端 $p = s$ でとる。 最大値については、軸が区間に含まれるかでさらに分かれる。

(ア) $0 \leqq s \leqq 1$ のとき 軸 $p = \frac{s+3}{2}$ は $\frac{3}{2} \leqq \frac{s+3}{2} \leqq 2$ となり区間内に含まれるため、頂点で最大となる。 よって $t$ の範囲は、

$$ \sqrt{3}s \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{6}(s^2+9) $$

となる。

(イ) $1 \leqq s \leqq 2$ のとき 軸 $p = \frac{s+3}{2}$ は $\frac{s+3}{2} \geqq 2$ となり区間の右側に外れるため、関数は区間内で単調増加となる。したがって右端 $p = 2$ で最大となる。 よって $t$ の範囲は、

$$ \sqrt{3}s \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{3}(s+4) $$

となる。

(2)

(1)の結果において、$s, t$ を $x, y$ に置き換えることで、領域 $D$ を不等式で表すことができる。

$$ \begin{cases} -3 \leqq x \leqq 0 \text{ のとき } & -\sqrt{3}x \leqq y \leqq \frac{\sqrt{3}}{6}(x^2+9) \\ 0 \leqq x \leqq 1 \text{ のとき } & \sqrt{3}x \leqq y \leqq \frac{\sqrt{3}}{6}(x^2+9) \\ 1 \leqq x \leqq 2 \text{ のとき } & \sqrt{3}x \leqq y \leqq \frac{\sqrt{3}}{3}(x+4) \end{cases} $$

これを $xy$ 平面上に図示する。 上側境界のうち曲線部分 $y = \frac{\sqrt{3}}{6}(x^2+9)$ の導関数は $y' = \frac{\sqrt{3}}{3}x$ であるから、$x = -3$ における接線の傾きは $-\sqrt{3}$ であり、直線 $y = -\sqrt{3}x$ と点 $(-3, 3\sqrt{3})$ で接する。 また、$x = 1$ における接線の傾きは $\frac{\sqrt{3}}{3}$ であり、直線 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x+4)$ と点 $(1, \frac{5\sqrt{3}}{3})$ で滑らかにつながる。 下側境界は原点 $O$ で折れ曲がる2つの直線となる。

解説

いわゆる「ファクシミリの原理（順像法）」を用いた領域図示の典型問題である。 線分が通過する領域を求める際、ある特定の $x$ 座標（ここでは $s$）をもつ直線で領域を切り取り、その断面（$y$ 座標のとりうる範囲）を調べることで全体像を構成する。

$p$ の存在範囲が「元の条件 $0 \leqq p \leqq 2$」だけでなく「線分であることによる条件 $s \leqq p \leqq s+3$」の双方から制約を受ける点に注意が必要だ。この2つの条件による区間を数直線上などで丁寧に共通部分をとることで、正しい場合分けができる。

領域の境界線を描く際は、微分の知識を用いて曲線と直線の接続部分が「滑らかに繋がっているか（接しているか）」「折れ曲がっているか」を確認すると、正確な図を描くことができる。

答え

(1)

$$ \begin{cases} -3 \leqq s \leqq 0 \text{ のとき} & -\sqrt{3}s \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{6}(s^2+9) \\ 0 \leqq s \leqq 1 \text{ のとき} & \sqrt{3}s \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{6}(s^2+9) \\ 1 \leqq s \leqq 2 \text{ のとき} & \sqrt{3}s \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{3}(s+4) \end{cases} $$

(2)

領域 $D$ は、以下の境界線で囲まれた閉領域である。境界線をすべて含む。

• 上側境界： $-3 \leqq x \leqq 1$ において 放物線 $y = \frac{\sqrt{3}}{6}(x^2+9)$ $1 \leqq x \leqq 2$ において 直線 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x+4)$
• 下側境界： $-3 \leqq x \leqq 0$ において 直線 $y = -\sqrt{3}x$ $0 \leqq x \leqq 2$ において 直線 $y = \sqrt{3}x$

特徴点として、放物線と下側境界の直線は点 $(-3, 3\sqrt{3})$ で接し、放物線と上側境界の直線は点 $\left(1, \frac{5\sqrt{3}}{3}\right)$ で滑らかに繋がる。右端の頂点は点 $(2, 2\sqrt{3})$、下端の頂点は原点 $(0, 0)$ である。