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数学1 三角比問題 13 解説

方針・初手

(1)は2辺とその間の角が与えられているため、余弦定理を用いて残りの辺の長さを求める。
(2)は角Cを共有する2つの三角形 $\triangle \text{ABC}$ と $\triangle \text{CDE}$ の面積比の公式を用いる。面積が二等分される条件から線分CEの長さを求め、線分BEの長さを逆算する。
(3)は $BE=x$ とおき、$\triangle \text{ABE}$ および $\triangle \text{DEC}$ の面積を $x$ と $\triangle \text{ABC}$ の面積 $S$ を用いて表す。これらを掛け合わせた関数 $T$ の最大値を平方完成によって求める。

解法1

(1)

$\triangle \text{ABC}$ において、余弦定理より

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cos A$$

が成り立つ。与えられた $AB=2$、$AC=3$、$A=60^{\circ}$ を代入すると、

$$BC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cos 60^{\circ} = 4 + 9 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 7$$

となる。$BC > 0$ であるから、

$$BC = \sqrt{7}$$

である。

(2)

$\triangle \text{ABC}$ の面積を $S$ とする。

線分DEが $\triangle \text{ABC}$ の面積を二等分するとき、$\triangle \text{CDE}$ の面積は $\frac{1}{2}S$ となる。

角Cを共有する三角形の面積比について、

$$\frac{\triangle \text{CDE}}{\triangle \text{ABC}} = \frac{CD}{CA} \cdot \frac{CE}{CB}$$

が成り立つ。

ここで、$AC=3$ であり、点Dは辺AC上で $AD=1$ となる点であるため、

$$CD = AC - AD = 3 - 1 = 2$$

である。これと $CB=\sqrt{7}$ を代入すると、

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{CE}{\sqrt{7}}$$

となる。これを整理してCEを求めると、

$$CE = \frac{3\sqrt{7}}{4}$$

となる。

点Eは辺BC上の点であるから、求める線分BEの長さは、

$$BE = BC - CE = \sqrt{7} - \frac{3\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

である。

(3)

線分BEの長さを $x$ とおく。点Eは辺BC上の点であるから、$x$ のとりうる値の範囲は

$$0 \leqq x \leqq \sqrt{7}$$

である。このとき、$CE = \sqrt{7} - x$ と表せる。

(2)と同様に $\triangle \text{ABC}$ の面積を $S$ とすると、

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \sin 60^{\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

である。

$\triangle \text{ABE}$ と $\triangle \text{ABC}$ は底辺をそれぞれ辺BC上の線分BE、線分BCとみると高さが等しいので、面積比は底辺の長さの比に等しい。

$$\triangle \text{ABE} = \frac{BE}{BC} S = \frac{x}{\sqrt{7}} S$$

また、$\triangle \text{DEC}$ についても、角Cを共有していることから面積比を考えると、

$$\triangle \text{DEC} = \frac{CD}{CA} \cdot \frac{CE}{CB} S = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{7}-x}{\sqrt{7}} S$$

となる。

したがって、面積の積 $T$ は、

$$T = \triangle \text{ABE} \cdot \triangle \text{DEC} = \frac{x}{\sqrt{7}} S \cdot \frac{2(\sqrt{7}-x)}{3\sqrt{7}} S = \frac{2x(\sqrt{7}-x)}{21} S^2$$

となる。ここで $S^2 = \left( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{27}{4}$ を代入すると、

$$T = \frac{2}{21} \cdot \frac{27}{4} x(\sqrt{7}-x) = \frac{9}{14} x(\sqrt{7}-x)$$

と整理できる。

$x$ についての2次関数として平方完成すると、

$$T = -\frac{9}{14} \left( x^2 - \sqrt{7}x \right) = -\frac{9}{14} \left( x - \frac{\sqrt{7}}{2} \right)^2 + \frac{9}{14} \cdot \frac{7}{4} = -\frac{9}{14} \left( x - \frac{\sqrt{7}}{2} \right)^2 + \frac{9}{8}$$

となる。

$0 \leqq x \leqq \sqrt{7}$ の範囲において、$T$ は $x = \frac{\sqrt{7}}{2}$ のとき最大値をとる。

このとき、最大値は $\frac{9}{8}$ である。

解説

(1)は余弦定理の基本的な適用である。確実に取りたい。
(2)において、直線の分割による面積比は「高さを共有する三角形の底辺の比」または「角を共有する三角形の辺の積の比」を利用するのが定石である。今回は角Cに着目すると立式が容易になる。
(3)では、各三角形の面積を直接計算してもよいが、全体面積 $S$ を用いたまま文字式で積を作り、最後に $S^2$ の値を代入する方が計算量が少なく、ミスを防ぎやすい。二次関数の最大・最小問題に帰着させる典型的な図形と計量の融合問題である。