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数学1 三角比問題 15 解説

方針・初手

建物の高さを文字で置き、図形的な位置関係から直角三角形を見つけて方程式を立てる。与えられた仰角と2地点間の距離の条件を、三角比または直角三角形の辺の比を用いて数式化する。

解法1

建物の高さを $h$ m とし、建物の底部の地点を C、上端の地点を D とする。問題の条件より、地点A, B, C は平地において同一直線上にあり、$\triangle \text{ACD}$ と $\triangle \text{BCD}$ は $\angle \text{C} = 90^\circ$ の直角三角形である。また、$\text{AB} = 10$、$\angle \text{DAC} = 30^\circ$、$\angle \text{DBC} = 45^\circ$、$\text{DC} = h$ である。

$\triangle \text{BCD}$ は $\angle \text{DBC} = 45^\circ$, $\angle \text{C} = 90^\circ$ の直角二等辺三角形であるから、

$$ \text{BC} = \text{DC} = h $$

である。

次に、$\triangle \text{ACD}$ について考える。$\text{AC} = \text{AB} + \text{BC} = 10 + h$ であり、$\tan 30^\circ = \frac{\text{DC}}{\text{AC}}$ が成り立つため、

$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{10 + h} $$

という方程式が得られる。これを $h$ について解く。

$$ 10 + h = \sqrt{3}h $$

$$ (\sqrt{3} - 1)h = 10 $$

$$ h = \frac{10}{\sqrt{3} - 1} $$

分母を有理化して計算を進める。

$$ h = \frac{10(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} $$

$$ h = \frac{10(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} $$

$$ h = 5(\sqrt{3} + 1) $$

$h > 0$ であるため、これは題意に適する。

解説

三角比を用いた測量の典型問題である。求める高さを文字で置き、2つの直角三角形における底辺の長さをその文字で表して方程式を立てるのが基本の定石である。仰角が $30^\circ$ および $45^\circ$ という特殊角であるため、三角比の定義（$\tan \theta$ など）を用いずとも、直角三角形の辺の比（$1 : 1 : \sqrt{2}$ および $1 : \sqrt{3} : 2$）を直接適用して線分の長さを求めていくことも可能である。