数学1 三角比 問題 44 解説

方針・初手

円に内接する四角形の性質である「向かい合う角の和が $180^\circ$ であること」を利用する。四角形を対角線で2つの三角形に分割し、それぞれの三角形に余弦定理を適用して $\cos\theta$ を求めるのが (1) の目標である。

(2) は式を平方の差の形 $X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y)$ と見て因数分解を進める。

(3) は四角形の面積を2つの三角形の面積の和として立式し、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて (1) と (2) の結果を代入していくことで、ブラーマグプタの公式を導出する。

解法1

(1)

対角線 $AC$ を引く。

四角形 ABCD は円に内接するため、向かい合う角の和は $180^\circ$ である。よって、$\angle CDA = 180^\circ - \theta$ となる。

$\triangle ABC$ において余弦定理を用いると、

$$ AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta $$

$\triangle CDA$ において余弦定理を用いると、

$$ AC^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos(180^\circ - \theta) $$

$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$ であるから、

$$ AC^2 = c^2 + d^2 + 2cd \cos\theta $$

これら2つの式から $AC^2$ を消去すると、

$$ a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta = c^2 + d^2 + 2cd \cos\theta $$

$\cos\theta$ について整理すると、

$$ 2(ab+cd)\cos\theta = a^2 + b^2 - c^2 - d^2 $$

$a, b, c, d$ は辺の長さであり正であるため、$2(ab+cd) \neq 0$ である。よって、

$$ \cos\theta = \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)} $$

(2)

与式を平方の差の公式 $X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y)$ を用いて因数分解する。

$$ 4(ab+cd)^2 - (a^2+b^2-c^2-d^2)^2 $$

$$ = \{ 2(ab+cd) + (a^2+b^2-c^2-d^2) \} \{ 2(ab+cd) - (a^2+b^2-c^2-d^2) \} $$

$$ = ( a^2+2ab+b^2 - c^2+2cd-d^2 ) ( -a^2+2ab-b^2 + c^2+2cd+d^2 ) $$

それぞれを平方の差の形に整理する。

$$ = \{ (a+b)^2 - (c-d)^2 \} \{ (c+d)^2 - (a-b)^2 \} $$

再び平方の差の公式を適用する。

$$ = \{ (a+b)+(c-d) \} \{ (a+b)-(c-d) \} \{ (c+d)+(a-b) \} \{ (c+d)-(a-b) \} $$

$$ = (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d) $$

(3)

四角形 ABCD の面積 $S$ は、$\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ の面積の和である。

$$ S = \triangle ABC + \triangle CDA $$

$$ = \frac{1}{2}ab \sin\theta + \frac{1}{2}cd \sin(180^\circ - \theta) $$

$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$ であるから、

$$ S = \frac{1}{2}ab \sin\theta + \frac{1}{2}cd \sin\theta = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin\theta $$

両辺を2乗すると、

$$ S^2 = \frac{1}{4}(ab+cd)^2 \sin^2\theta = \frac{1}{4}(ab+cd)^2 (1-\cos^2\theta) $$

(1) の結果を代入すると、

$$ S^2 = \frac{1}{4}(ab+cd)^2 \left\{ 1 - \left( \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)} \right)^2 \right\} $$

$$ = \frac{1}{4}(ab+cd)^2 \cdot \frac{4(ab+cd)^2 - (a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{4(ab+cd)^2} $$

$$ = \frac{4(ab+cd)^2 - (a^2+b^2-c^2-d^2)^2}{16} $$

分子は (2) の式そのものであるため、因数分解した結果を代入する。

$$ S^2 = \frac{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}{16} $$

$$ = \frac{-a+b+c+d}{2} \cdot \frac{a-b+c+d}{2} \cdot \frac{a+b-c+d}{2} \cdot \frac{a+b+c-d}{2} $$

ここで、$s = \frac{a+b+c+d}{2}$ であるから、$2s = a+b+c+d$ となる。これを用いると、各因数は次のように変形できる。

$$ \frac{-a+b+c+d}{2} = \frac{2s - 2a}{2} = s-a $$

$$ \frac{a-b+c+d}{2} = \frac{2s - 2b}{2} = s-b $$

$$ \frac{a+b-c+d}{2} = \frac{2s - 2c}{2} = s-c $$

$$ \frac{a+b+c-d}{2} = \frac{2s - 2d}{2} = s-d $$

したがって、

$$ S^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) $$

四角形の面積 $S$ は正であるから、平方根をとって、

$$ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $$

となり、証明された。

解説

円に内接する四角形の面積を求める「ブラーマグプタの公式」を自ら導出する典型的な誘導問題である。

(1) の余弦定理の2回適用による立式と、(3) の面積公式の立式は、図形問題における定石である。(2) の因数分解は項数が多く複雑に見えるが、「平方の差」の形を繰り返し作り出すことで見通しよく処理できる。

最後に $s = \frac{a+b+c+d}{2}$ を用いて美しくまとめる流れは、一度経験しておくと他の図形問題の計算でも活かすことができる。計算量が多いので、途中で符号ミスなどをしないように丁寧に式を展開・整理することが重要である。

答え

(1) $$ \cos\theta = \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)} $$

(2) $$ (-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d) $$

(3)

解説本文の通り。