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数学2 領域問題 43 解説

方針・初手

点P, Qの座標をそれぞれパラメータを用いて表し、条件 $\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=6$ からそれらのパラメータ間の関係式を導く。その後、線分PQ上の点を媒介変数で表し、その $x$ 座標を $s$ と固定したときの $y$ 座標の取りうる範囲を求める、順像法（パラメータの存在範囲を調べる方法）をとるのが定石である。後半の図示では、問題の条件の対称性に注目すると計算量を減らすことができる。

解法1

点Pは半直線 $y = \sqrt{3}x \ (x \geqq 0)$ 上にあるので、その $x$ 座標を $p \ (0 \leqq p \leqq 2)$ とおくと、$\mathrm{P}(p, \sqrt{3}p)$ と表せる。このとき線分OPの長さは、

$$\mathrm{OP} = \sqrt{p^2 + (\sqrt{3}p)^2} = \sqrt{4p^2} = 2p$$

である。同様に、点Qは半直線 $y = -\sqrt{3}x \ (x \leqq 0)$ 上にあるので、その $x$ 座標を $q \ (-2 \leqq q \leqq 0)$ とおくと、$\mathrm{Q}(q, -\sqrt{3}q)$ と表せる。このとき線分OQの長さは、

$$\mathrm{OQ} = \sqrt{q^2 + (-\sqrt{3}q)^2} = \sqrt{4q^2} = -2q$$

である。条件 $\mathrm{OP} + \mathrm{OQ} = 6$ より、

$$2p - 2q = 6$$

$$q = p - 3$$

$-2 \leqq q \leqq 0$ であるから、$-2 \leqq p - 3 \leqq 0$ より $1 \leqq p \leqq 3$ となる。もともとの条件 $0 \leqq p \leqq 2$ と合わせて、パラメータ $p$ の動く範囲は $1 \leqq p \leqq 2$ である。

線分PQ上の点 $(x, y)$ は、実数 $k \ (0 \leqq k \leqq 1)$ を用いて以下のように表せる。

$$\begin{aligned} x &= (1-k)q + kp = (1-k)(p-3) + kp = p - 3(1-k) \\ y &= (1-k)(-\sqrt{3}q) + k(\sqrt{3}p) = -\sqrt{3}(1-k)(p-3) + \sqrt{3}kp \\ &= \sqrt{3}( -p + 3 + kp - 3k + kp ) = \sqrt{3}p(2k-1) + 3\sqrt{3}(1-k) \end{aligned}$$

ここで、$(x, y) = (s, t)$ とすると、$x=s$ より

$$s = p - 3(1-k)$$

$$3(1-k) = p - s$$

$0 \leqq k \leqq 1$ より $0 \leqq 1-k \leqq 1$ であるから、

$$0 \leqq p - s \leqq 3$$

$$s \leqq p \leqq s+3$$

このとき、$t$ を $p, s$ を用いて表す。$1-k = \frac{p-s}{3}$、$k = 1 - \frac{p-s}{3} = \frac{3-p+s}{3}$ より、

$$\begin{aligned} t &= -\sqrt{3}(p-3)\frac{p-s}{3} + \sqrt{3}p\frac{3-p+s}{3} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \left\{ -(p-3)(p-s) + p(3-p+s) \right\} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \left\{ -(p^2 - (s+3)p + 3s) + 3p - p^2 + ps \right\} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( -2p^2 + 2(s+3)p - 3s \right) \\ &= -\frac{2\sqrt{3}}{3}p^2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}(s+3)p - \sqrt{3}s \end{aligned}$$

点 $(s, t)$ が $D$ に入る条件は、この $t$ を与える関数を $f(p)$ としたとき、$t = f(p)$ を満たす $p$ が $1 \leqq p \leqq 2$ かつ $s \leqq p \leqq s+3$ の範囲に少なくとも1つ存在することである。 $0 \leqq s \leqq 2$ のとき、$s+3 \geqq 3 > 2$ であるから、$p$ の動く範囲は $\max(1, s) \leqq p \leqq 2$ となる。 $f(p)$ を平方完成すると、

$$\begin{aligned} f(p) &= -\frac{2\sqrt{3}}{3} \left\{ p^2 - (s+3)p \right\} - \sqrt{3}s \\ &= -\frac{2\sqrt{3}}{3} \left( p - \frac{s+3}{2} \right)^2 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{(s+3)^2}{4} - \sqrt{3}s \\ &= -\frac{2\sqrt{3}}{3} \left( p - \frac{s+3}{2} \right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{6}(s^2+9) \end{aligned}$$

放物線 $y = f(p)$ は上に凸であり、軸は $p = \frac{s+3}{2}$ である。 $s$ の値によって $p$ の定義域が変化するため、場合分けを行う。

(i) $0 \leqq s \leqq 1$ のとき

$p$ の範囲は $1 \leqq p \leqq 2$ である。軸 $p = \frac{s+3}{2}$ は、$\frac{3}{2} \leqq \frac{s+3}{2} \leqq 2$ を満たすため、常に区間 $[1, 2]$ 内にある。よって、$f(p)$ は $p = \frac{s+3}{2}$ で最大となる。

$$\text{最大値} = f\left(\frac{s+3}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{6}(s^2+9)$$

最小値は、軸が区間の中点 $\frac{3}{2}$ 以上にあることから、$p=1$ のときにとる。

$$\text{最小値} = f(1) = -\frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3}(s+3) - \sqrt{3}s = -\frac{\sqrt{3}}{3}s + \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

したがって、$t$ の範囲は $-\frac{\sqrt{3}}{3}s + \frac{4\sqrt{3}}{3} \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{6}(s^2+9)$ である。

(ii) $1 \leqq s \leqq 2$ のとき

$p$ の範囲は $s \leqq p \leqq 2$ である。軸 $p = \frac{s+3}{2}$ について、$\frac{s+3}{2} - 2 = \frac{s-1}{2} \geqq 0$ であるから、軸は区間の右端 $p=2$ 以上にある。よって、$f(p)$ は区間 $[s, 2]$ において単調増加となる。最大値は $p=2$ のときにとる。

$$\text{最大値} = f(2) = -\frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}(s+3) - \sqrt{3}s = \frac{\sqrt{3}}{3}s + \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

最小値は $p=s$ のときにとる。

$$\text{最小値} = f(s) = -\frac{2\sqrt{3}}{3}s^2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}(s+3)s - \sqrt{3}s = \sqrt{3}s$$

したがって、$t$ の範囲は $\sqrt{3}s \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{3}s + \frac{4\sqrt{3}}{3}$ である。

(2) 領域 $D$ の対称性を考える。点 $(x, y)$ が領域 $D$ に含まれるとすると、条件を満たす2点 $\mathrm{P}(p, \sqrt{3}p)$、$\mathrm{Q}(q, -\sqrt{3}q)$ （ただし $1 \leqq p \leqq 2, q=p-3$）が存在し、$(x, y)$ は線分PQ上にある。ここで、点 $\mathrm{P}'(-q, -\sqrt{3}q)$ と点 $\mathrm{Q}'(-p, \sqrt{3}p)$ を考える。 $1 \leqq p \leqq 2$ より $-2 \leqq -p \leqq -1$ であり、$\mathrm{Q}'$ は線分 $y=-\sqrt{3}x \ (-2 \leqq x \leqq 0)$ 上の点である。 $q = p-3$ より $-2 \leqq q \leqq -1$ なので $1 \leqq -q \leqq 2$ であり、$\mathrm{P}'$ は線分 $y=\sqrt{3}x \ (0 \leqq x \leqq 2)$ 上の点である。

$$\mathrm{OP}' = \sqrt{(-q)^2 + (-\sqrt{3}q)^2} = \sqrt{4q^2} = -2q = \mathrm{OQ}$$

$$\mathrm{OQ}' = \sqrt{(-p)^2 + (\sqrt{3}p)^2} = \sqrt{4p^2} = 2p = \mathrm{OP}$$

したがって、$\mathrm{OP}' + \mathrm{OQ}' = \mathrm{OQ} + \mathrm{OP} = 6$ となり、組 $(\mathrm{P}', \mathrm{Q}')$ は問題の条件を満たす。線分 $\mathrm{P}'\mathrm{Q}'$ は線分 $\mathrm{PQ}$ を $y$ 軸に関して対称移動したものであるから、領域 $D$ 全体は $y$ 軸に関して対称な図形となる。よって、(1)で求めた $0 \leqq x \leqq 2$ における領域を $y$ 軸対称に折り返せばよい。

解説

通過領域を求める典型問題である。動く線分上の点をパラメータ表示し、「ある $x$ 座標において $y$ 座標がどの範囲を動けるか」を1変数の関数の最大・最小問題に帰着させる手法（順像法）が確実である。後半の図示では、PとQの稼働範囲や制約式が $y$ 軸対称にうまく入れ替わることに気づけば、$x \leqq 0$ の領域の再計算を省くことができる。計算量が多いため、見通しよく式変形を行う処理能力が問われる。