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大阪大学 2013年理系第2問解説

方針・初手

$x, y$ が絶対値記号の中に入っていることから、領域の対称性（$x$ 軸、$y$ 軸、原点対称）に着目する。まずは第1象限（$x \geqq 0, y \geqq 0$）における領域を求め、それを各象限に展開する（折り返す）方針をとる。

解法1

与えられた不等式を次のように定める。

$$ 1 \leqq ||x| - 2| + ||y| - 2| \leqq 3 \cdots (*) $$

$f(x, y) = ||x| - 2| + ||y| - 2|$ とおくと、

$$ f(-x, y) = |-x| - 2| + ||y| - 2| = ||x| - 2| + ||y| - 2| = f(x, y) $$

$$ f(x, -y) = ||x| - 2| + |-y| - 2| = ||x| - 2| + ||y| - 2| = f(x, y) $$

が成り立つ。したがって、不等式 $(*)$ の表す領域は $y$ 軸に関して対称であり、かつ $x$ 軸に関しても対称である（すなわち原点に関しても対称である）。よって、第1象限（$x \geqq 0, y \geqq 0$）における領域を求め、それを各軸に関して対称移動して全体を把握すればよい。

$x \geqq 0, y \geqq 0$ のとき、$|x|=x, |y|=y$ より、不等式 $(*)$ は次のように表される。

$$ 1 \leqq |x - 2| + |y - 2| \leqq 3 \cdots (**) $$

この不等式は、点 $(2, 2)$ を中心とする2つの正方形に囲まれた領域を表す。

(i)

$|x - 2| + |y - 2| \leqq 3$ について

これは点 $(2, 2)$ を中心とする、対角線の長さが6の正方形の内部および境界である。各範囲で絶対値を外して境界線の方程式を求めると、以下のようになる。

$x \geqq 2, y \geqq 2$ のとき : $(x - 2) + (y - 2) = 3 \iff x + y = 7$
$x < 2, y \geqq 2$ のとき : $-(x - 2) + (y - 2) = 3 \iff -x + y = 3$
$x \geqq 2, y < 2$ のとき : $(x - 2) - (y - 2) = 3 \iff x - y = 3$
$x < 2, y < 2$ のとき : $-(x - 2) - (y - 2) = 3 \iff x + y = 1$

これらと $x \geqq 0, y \geqq 0$ の共通部分をとると、境界上の頂点は $(1,0), (3,0), (5,2), (2,5), (0,3), (0,1)$ となる。これらを順に結んだ多角形の内部および境界が、第1象限において条件を満たす領域の外枠となる。

(ii)

$1 \leqq |x - 2| + |y - 2|$ について

$|x - 2| + |y - 2| < 1$ を満たす領域を除外する。これは点 $(2, 2)$ を中心とする、対角線の長さが2の正方形の内部である。境界の頂点は $(3,2), (2,3), (1,2), (2,1)$ であり、この正方形はすべて $x > 0, y > 0$ の範囲に含まれるため、第1象限の領域の内部にすっぽりと穴を開ける形になる。

(i), (ii) より、第1象限における領域は、（i）で求めた多角形から（ii）の正方形の内部を除いた部分となる。

最後に、この第1象限の領域を $x$ 軸、$y$ 軸、原点に関して対称移動して、全体の領域を得る。このとき、第1象限の境界の一部であった線分（$(1,0)$ と $(0,1)$ を結ぶ線分）は、対称移動によって原点 $(0,0)$ を中心とする対角線の長さが2の正方形を形成する。この正方形の内部では $|x| + |y| < 1$ となり与式を満たさないため、原点の周りにも「穴」ができることになる。

解説

絶対値が複数含まれる方程式や不等式の図示問題では、「対称性」を見抜いて考える範囲を絞る（ここでは第1象限のみにする）ことが定石である。まともに場合分けをすると $x, y$ の正負、$x-2, y-2$ の正負などで場合分けが膨大になってしまうが、対称性を利用することで大幅に手間を省くことができる。また、$|x-a| + |y-b| \leqq c$ が「点 $(a,b)$ を中心とした対角線の長さが $2c$ の正方形（ひし形）」を表すことは、図形問題の知識として覚えておくと、境界の把握や見直しが極めて容易になる。最終的な図形は、大きな12角形の中に5つの正方形の穴（各象限に1つずつ、および原点に1つ）が空いた特徴的な形となる。