数学3 二次方程式･極限 問題 1 解説

方針・初手

無限等比級数 $\sum_{n=0}^{\infty} r^n$ が収束する条件は、公比 $r$ が $-1 < r < 1$ を満たすことである。

本問では、2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持ち、それぞれの級数が収束することが求められているため、$-1 < \alpha < 1$ かつ $-1 < \beta < 1$ が条件となる。これは2次方程式の解の配置問題として処理できる。

後半は、無限等比級数の和の公式を用いて2つの和を計算し、それらを解に持つ2次方程式を解と係数の関係から構成する。

解法1

$f(x) = x^2 + ax + b$ とおく。

2次方程式 $f(x) = 0$ が区間 $-1 < x < 1$ に2つの実数解（重解を含む）を持つための条件を求める。 放物線 $y = f(x)$ について、以下の3つの条件が同時に成り立つことが必要十分である。

(i) 判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ である。

$$D = a^2 - 4b \geqq 0 \iff b \leqq \frac{1}{4}a^2$$

(ii) 放物線の軸 $x = -\frac{a}{2}$ が $-1 < x < 1$ の範囲にある。

$$-1 < -\frac{a}{2} < 1 \iff -2 < a < 2$$

(iii) 区間の両端において $f(-1) > 0$ かつ $f(1) > 0$ である。

$$f(-1) = 1 - a + b > 0 \iff b > a - 1$$

$$f(1) = 1 + a + b > 0 \iff b > -a - 1$$

以上の (i), (ii), (iii) を同時に満たす点 $(a, b)$ の範囲を図示すればよい。

境界線となる図形について調べる。 放物線 $b = \frac{1}{4}a^2$ と直線 $b = a - 1$ の交点の $a$ 座標は、

$$\frac{1}{4}a^2 = a - 1 \iff a^2 - 4a + 4 = 0 \iff (a - 2)^2 = 0$$

より $a = 2$ であり、点 $(2, 1)$ で接する。 同様に、放物線 $b = \frac{1}{4}a^2$ と直線 $b = -a - 1$ の交点は、

$$\frac{1}{4}a^2 = -a - 1 \iff (a + 2)^2 = 0$$

より $a = -2$ であり、点 $(-2, 1)$ で接する。 また、2直線 $b = a - 1$ と $b = -a - 1$ は点 $(0, -1)$ で交わる。

これらの位置関係から、点 $(a, b)$ の存在範囲は、放物線 $b = \frac{1}{4}a^2$ の下側かつ2直線 $b = a - 1, b = -a - 1$ の上側に囲まれた領域となる。（軸の条件 $-2 < a < 2$ はこの領域において自然に満たされる。）

次に、2つの級数の和を求める。 $-1 < \alpha < 1, -1 < \beta < 1$ であるから、無限等比級数はそれぞれ収束し、その和は

$$\sum_{n=0}^{\infty} \alpha^n = \frac{1}{1-\alpha}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \beta^n = \frac{1}{1-\beta}$$

となる。これらを2解とする2次方程式を作成するため、解の和と積を計算する。 解と係数の関係から、$\alpha + \beta = -a, \alpha\beta = b$ である。

2解の和は、

$$\frac{1}{1-\alpha} + \frac{1}{1-\beta} = \frac{(1-\beta) + (1-\alpha)}{(1-\alpha)(1-\beta)} = \frac{2 - (\alpha + \beta)}{1 - (\alpha + \beta) + \alpha\beta} = \frac{2 + a}{1 + a + b}$$

2解の積は、

$$\frac{1}{1-\alpha} \cdot \frac{1}{1-\beta} = \frac{1}{1 - (\alpha + \beta) + \alpha\beta} = \frac{1}{1 + a + b}$$

ここで、点 $(a, b)$ は先ほど求めた領域内の点であり、$b > -a - 1$ すなわち $1 + a + b > 0$ を満たすため、分母は $0$ にならない。

したがって、これらを解とする2次方程式の1つは

$$x^2 - \frac{a+2}{1+a+b}x + \frac{1}{1+a+b} = 0$$

と表せる。両辺に $1+a+b$ を掛けると、

$$(1+a+b)x^2 - (a+2)x + 1 = 0$$

これが $Ax^2 + Bx + 1 = 0$ と一致するので、定数項が等しいことに着目して各係数を比較する。

$$A = 1+a+b, \quad B = -a-2$$

解説

2次方程式の解の配置と、無限等比級数の収束条件を組み合わせた標準的な問題である。 解の配置を考える際は、「判別式」「軸の位置」「区間端での関数値の符号」の3要素を確認することが鉄則となる。図示においては、放物線と直線の接点などの位置関係を正確に求めることがポイントである。

新しい2次方程式を作る場面では、和と積を求めて $x^2 - (\text{和})x + (\text{積}) = 0$ の形を作るのが定石である。本問では問題文で定数項が $1$ と指定されているため、最後に両辺を定数倍して形を合わせる。

答え

点 $(a, b)$ の存在範囲は、以下の連立不等式が表す領域である。

$$\begin{cases} b \leqq \frac{1}{4}a^2 \\ b > a - 1 \\ b > -a - 1 \end{cases}$$

（図については、点 $(-2, 1), (2, 1)$ を頂点とする放物線 $b = \frac{1}{4}a^2$ の下側と、点 $(0, -1)$ で交わる2直線 $b = a - 1, b = -a - 1$ の上側で囲まれた領域。境界線は放物線部分のみ含み、直線部分は含まない。）

求める係数は、

$$A = a + b + 1, \quad B = -a - 2$$