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東京工業大学 2008年理系第2問解説

方針・初手

$f(x)$ は $x$ 以上の最小の整数であるから、$x \le f(x) < x + 1$ が成り立つ。これを元に与式の極限を評価する。極限を考えるにあたって、通分して分子と分母それぞれのオーダー（$x$ の次数）を調べるのが基本となる。その際、$a$ と $b$ が等しいかどうかで分子の次数が変化することに注意して場合分けを行う。

解法1

$x \to \infty$ の極限を考えるため、以下では $x > 0$ かつ $ax - 7 > 0, bx + 3 > 0$ となる十分に大きな $x$ について考える。このとき $f(ax - 7) > 0, f(bx + 3) > 0$ であり分母は $0$ にならない。

$f(x)$ の定義より、任意の実数 $x$ に対して

$$ x \le f(x) < x + 1 $$

が成り立つ。したがって、

$$ ax - 7 \le f(ax - 7) < ax - 6 $$

$$ bx + 3 \le f(bx + 3) < bx + 4 $$

となる。各辺を $x$ で割ると

$$ a - \frac{7}{x} \le \frac{f(ax - 7)}{x} < a - \frac{6}{x} $$

$$ b + \frac{3}{x} \le \frac{f(bx + 3)}{x} < b + \frac{4}{x} $$

となる。$x \to \infty$ とすると、はさみうちの原理より

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{f(ax - 7)}{x} = a $$

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{f(bx + 3)}{x} = b $$

が成り立つ。

次に、与えられた極限の式を通分して整理する。

$$ x^c \left( \frac{1}{f(ax - 7)} - \frac{1}{f(bx + 3)} \right) = \frac{x^{c-2}}{\frac{f(ax - 7)}{x} \frac{f(bx + 3)}{x}} \left\{ f(bx + 3) - f(ax - 7) \right\} $$

分母の極限は $\lim_{x \to \infty} \frac{f(ax - 7)}{x} \frac{f(bx + 3)}{x} = ab \neq 0$ と有限確定値になる。

分子について、先の不等式を用いて差をとる。$X < Y \implies -Y < -X$ に注意すると、

$$ - (ax - 6) < - f(ax - 7) \le - (ax - 7) $$

であるから、これと $bx + 3 \le f(bx + 3) < bx + 4$ の辺々を足し合わせて

$$ bx + 3 - (ax - 6) < f(bx + 3) - f(ax - 7) < bx + 4 - (ax - 7) $$

すなわち

$$ (b - a)x + 9 < f(bx + 3) - f(ax - 7) < (b - a)x + 11 $$

が得られる。ここで $a$ と $b$ の値によって場合分けをする。

(i) $a \neq b$ のとき

不等式の各辺を $x$ で割ると

$$ (b - a) + \frac{9}{x} < \frac{f(bx + 3) - f(ax - 7)}{x} < (b - a) + \frac{11}{x} $$

となる。$x \to \infty$ のとき、両端の式は $b - a$ に収束するため、はさみうちの原理より

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{f(bx + 3) - f(ax - 7)}{x} = b - a $$

となる。したがって、与えられた式のうち $x$ を1つだけ分子に割り当てた極限は

$$ \lim_{x \to \infty} x \left( \frac{1}{f(ax - 7)} - \frac{1}{f(bx + 3)} \right) = \frac{b - a}{ab} $$

となる。この値は $0$ ではないため、これに $x^{c-1}$ を掛けた値が有限の値に収束するためには、

$$ c - 1 \le 0 $$

が必要十分である。よって、$c$ の最大値は $1$ であり、そのときの極限値は $\frac{b - a}{ab}$ である。

(ii) $a = b$ のとき

分子の評価式は

$$ 9 < f(ax + 3) - f(ax - 7) < 11 $$

となる。$f(x)$ の値は整数であるから、その差である $f(ax + 3) - f(ax - 7)$ も整数である。$9$ より大きく $11$ より小さい整数は $10$ のみであるから、

$$ f(ax + 3) - f(ax - 7) = 10 $$

が常に成り立つ。したがって、与式は次のように変形できる。

$$ x^c \left( \frac{1}{f(ax - 7)} - \frac{1}{f(ax + 3)} \right) = x^{c-2} \frac{10}{\frac{f(ax - 7)}{x} \frac{f(ax + 3)}{x}} $$

ここで、極限をとると

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{10}{\frac{f(ax - 7)}{x} \frac{f(ax + 3)}{x}} = \frac{10}{a^2} $$

となる。この値は正の定数であるため、これに $x^{c-2}$ を掛けた値が有限の値に収束するためには、

$$ c - 2 \le 0 $$

が必要十分である。よって、$c$ の最大値は $2$ であり、そのときの極限値は $\frac{10}{a^2}$ である。

解説

ガウス記号（あるいは天井関数）を含む式の極限を求める典型問題である。$x \le f(x) < x + 1$ という不等式を用いて、はさみうちの原理に持ち込むのが定石となる。

この問題の最大のポイントは、$a = b$ の場合に分子の $x$ の1次の項が消去され、極限の収束条件が変わることに気づけるかどうかにあたる。特に $a = b$ のときは、不等式評価で「$x^2$ で割ってはさみうち」と安易に進めると、極限が特定の定数に収束することを示せなくなってしまう。整数値の差であることを利用して、差が $10$ に厳密に一致することを論証する部分が差のつくポイントである。