東北大学 2022年 理系 第3問 解説

方針・初手

まず （1） は

$$ \sqrt{1+x}-1=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1} $$

と有理化して分母を評価すればよい。

（2） は （1） の不等式に $x=\dfrac{k}{n^2}$ を代入し，各項を上下からはさむ。すると $S_n$ 全体も上下から評価でき，はさみうちで極限が求まる。

解法1

(1)

$x>0$ とする。

まず，

$$ \sqrt{1+x}-1 =\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{\sqrt{1+x}+1} =\frac{x}{\sqrt{1+x}+1} $$

である。

ここで $\sqrt{1+x}+1 \ge 2$ であるから，

$$ \sqrt{1+x}-1=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}\le \frac{x}{2} $$

を得る。

次に，$x>0$ なので $1+x\ge 1$ であり，

$$ 1+x \le (1+x)^2 $$

が成り立つ。両辺とも正であるから平方根をとって

$$ \sqrt{1+x}\le 1+x $$

となる。よって

$$ \sqrt{1+x}+1\le x+2 $$

であるから，

$$ \sqrt{1+x}-1=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}\ge \frac{x}{x+2} $$

を得る。

以上より，

$$ \frac{x}{2+x}\le \sqrt{1+x}-1\le \frac{x}{2} $$

が示された。

(2)

各項に （1） を $x=\dfrac{k}{n^2}$ として適用すると，

$$ \frac{\frac{k}{n^2}}{2+\frac{k}{n^2}} \le \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1 \le \frac{1}{2}\cdot \frac{k}{n^2} $$

すなわち

$$ \frac{k}{2n^2+k} \le \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1 \le \frac{k}{2n^2} $$

である。

これを $k=1,2,\dots,n$ について加えると，

$$ \sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^2+k} \le S_n \le \sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^2} $$

となる。

右側は

$$ \sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^2} =========================== # \frac{1}{2n^2}\sum_{k=1}^n k # \frac{1}{2n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2} \frac{n+1}{4n} $$

である。

一方，$1\le k\le n$ より $2n^2+k\le 2n^2+n$ だから，

$$ \frac{k}{2n^2+k}\ge \frac{k}{2n^2+n} $$

である。したがって

$$ \sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^2+k} \ge \sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^2+n} ============================= # \frac{1}{2n^2+n}\sum_{k=1}^n k # \frac{1}{2n^2+n}\cdot \frac{n(n+1)}{2} \frac{n+1}{2(2n+1)} $$

を得る。

よって

$$ \frac{n+1}{2(2n+1)} \le S_n \le \frac{n+1}{4n} $$

である。ここで

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2(2n+1)}=\frac14, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{4n}=\frac14 $$

なので，はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\frac14 $$

である。

解説

この問題の核心は，各項

$$ \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1 $$

をそのまま扱わず，有理化して

$$ \frac{x}{2+x}\le \sqrt{1+x}-1\le \frac{x}{2} $$

という基本評価に落とすことである。

（2） では $\dfrac{k}{n^2}$ が小さいから各項はおよそ $\dfrac{k}{2n^2}$ に見える。その総和は

$$ \sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^2} $$

であり，これが $1/4$ に近づく。実際には上下からきちんと評価して，はさみうちで極限を確定するのが標準的な処理である。

答え

$$ \frac{x}{2+x}\le \sqrt{1+x}-1\le \frac{x}{2}\qquad (x>0) $$

および

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\frac14 $$