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京都大学 2012年理系第1問解説

方針・初手

(1) 等比数列の極限の基本である「底の大きさによる場合分け」を行う。$a>1$ のときは最も発散のスピードが速い $a^n$ でくくり出すのが定石である。

(2) 対数の性質 $\log \sqrt{1+x^2} = \dfrac{1}{2} \log(1+x^2)$ を用いて式を整理した後、$x^{-2}$ を $(-x^{-1})'$ とみて部分積分を行う。残った積分は $x = \tan\theta$ と置換する標準的な形になる。

解法1

(1)

極限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}$ を求める。

$a > 0$ より、底 $a$ の大きさで場合分けを行う。

(i) $0 < a \leqq 1$ のとき

・$0 < a < 1$ のとき

$1 < 1+a^n < 2$ であるから、各辺を $\dfrac{1}{n}$ 乗して

$$ 1^{\frac{1}{n}} < (1+a^n)^{\frac{1}{n}} < 2^{\frac{1}{n}} $$

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} 1^{\frac{1}{n}} = 1$、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} 2^{\frac{1}{n}} = 2^0 = 1$ であるから、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}} = 1 $$

・$a=1$ のとき

$$ \lim_{n \to \infty} (1+1^n)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} 2^{\frac{1}{n}} = 1 $$

したがって、$0 < a \leqq 1$ のとき極限値は $1$ である。

(ii) $a > 1$ のとき

括弧の中を $a^n$ でくくり出すと、

$$ (1+a^n)^{\frac{1}{n}} = \left\{ a^n \left( \frac{1}{a^n} + 1 \right) \right\}^{\frac{1}{n}} = a \left( \frac{1}{a^n} + 1 \right)^{\frac{1}{n}} $$

$a > 1$ より $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{a}\right)^n = 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} a \left( \frac{1}{a^n} + 1 \right)^{\frac{1}{n}} = a \cdot (0 + 1)^0 = a $$

したがって、$a > 1$ のとき極限値は $a$ である。

(2)

求める定積分を $I$ とする。対数の性質を用いて変形すると、

$$ I = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} \log \sqrt{1+x^2}\, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{\sqrt{3}} x^{-2} \log(1+x^2)\, dx $$

$(-x^{-1})' = x^{-2}$ であるから、部分積分法を用いて、

$$ I = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{x} \log(1+x^2) \right]_{1}^{\sqrt{3}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\sqrt{3}} \left( -\frac{1}{x} \right) \cdot \frac{2x}{1+x^2}\, dx $$

$$ = \frac{1}{2} \left\{ -\frac{1}{\sqrt{3}} \log 4 + \log 2 \right\} + \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2}\, dx $$

$\log 4 = 2\log 2$ であるから、

$$ = \frac{1}{2} \left( -\frac{2}{\sqrt{3}} \log 2 + \log 2 \right) + \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2}\, dx $$

$$ = \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \log 2 + \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2}\, dx $$

ここで、$J = \displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{1+x^2}\, dx$ とおく。$x = \tan\theta$ と置換すると、$dx = \dfrac{1}{\cos^2\theta}\, d\theta$ であり、積分区間は $x: 1 \to \sqrt{3}$ のとき $\theta: \dfrac{\pi}{4} \to \dfrac{\pi}{3}$ となる。

$$ J = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^2\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta}\, d\theta $$

三角関数の相互関係 $1+\tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ より、

$$ J = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} 1\, d\theta = \left[ \theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12} $$

したがって、求める定積分の値は、

$$ I = \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \log 2 + \frac{\pi}{12} $$

解説

(1) は等比数列を含む極限計算の基本である。底 $a$ と $1$ との大小関係による場合分けと、$a>1$ のときの「最も発散のスピードが速い項でくくる」という処理は、極限における最重要の定石である。$0<a<1$ のときははさみうちの原理を用いて厳密に記述すると論理の飛躍がなく安全である。

(2) は「$\log$ の積分は部分積分」というセオリーに従う。対数の真数部分のルートを $\dfrac{1}{2}$ 乗として前に出しておくことで計算が楽になる。部分積分を行った後に現れる $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+a^2}\, dx$ は、$x=a\tan\theta$ と置換する積分法の典型パターンである。定積分における計算ミスの多くはマイナス符号の扱いで生じるので、丁寧に処理したい。