数学3 数列･極限 問題 6 解説

方針・初手

初項から第 $n$ 項までの積 $P_n$ が与えられているとき、数列の各項 $a_n$ を求めるには、和のときと同様に隣り合う項の比を考える。具体的には、$n \geqq 2$ のとき $P_n = P_{n-1} a_n$ であることから $a_n = \frac{P_n}{P_{n-1}}$ を計算する。

(1) は定義に従って $n=1, 2$ を代入し、$a_1, a_2$ を順に求める。 (2) は前述の方針で $a_n$ を求め、$n=1$ の場合にも成り立つかを確認する。階乗の計算に注意する。 (3) は (2) で求めた $a_n$ の形から部分分数分解を行い、和 $S_n$ を求めてから極限をとる。

解法1

(1)

$P_n = a_1 a_2 \cdots a_n$ であるから、$P_1 = a_1$ である。与えられた式に $n=1$ を代入すると

$$a_1 = P_1 = \frac{1}{(1+1)(1!)^2} = \frac{1}{2}$$

となる。次に、$n=2$ を代入すると $P_2 = a_1 a_2$ であるから

$$a_1 a_2 = P_2 = \frac{1}{(2+1)(2!)^2} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$$

となる。ここで $a_1 = \frac{1}{2}$ を代入すると

$$\frac{1}{2} a_2 = \frac{1}{12}$$

$$a_2 = \frac{1}{6}$$

となる。

(2)

$n \geqq 2$ のとき、$P_n = P_{n-1} a_n$ が成り立つ。$P_{n-1} \neq 0$ であるから

$$a_n = \frac{P_n}{P_{n-1}}$$

となる。与えられた $P_n$ の式より

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{\frac{1}{(n+1)(n!)^2}}{\frac{1}{n\{(n-1)!\}^2}} \\ &= \frac{n\{(n-1)!\}^2}{(n+1)(n!)^2} \\ &= \frac{n}{(n+1) \cdot n^2} \\ &= \frac{1}{n(n+1)} \end{aligned}$$

となる。ここで、$n=1$ とすると

$$\frac{1}{1 \cdot (1+1)} = \frac{1}{2}$$

となり、(1) で求めた $a_1$ と一致するため、$n=1$ のときも成り立つ。

(3)

(2) より、$a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ である。これを部分分数分解すると

$$a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

となる。したがって、数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は

$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \cdots + a_n \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= 1 - \frac{1}{n+1} \end{aligned}$$

となる。よって、求める極限は

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = 1$$

となる。

解説

数列の和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求める $a_n = S_n - S_{n-1}$ の関係式は頻出だが、本問のように数列の積 $P_n$ から一般項 $a_n$ を求める $a_n = \frac{P_n}{P_{n-1}}$ の関係式も同様の考え方で導出できる。階乗が含まれる分数の計算では、$n! = n \cdot (n-1)!$ の性質を用いて約分を正確に行うことがポイントである。

(3) で現れる部分分数分解を用いた和の計算は、入試数学における典型的な処理である。隣り合う項が打ち消し合って最初と最後だけが残る形を正確に書き出すことが重要である。

答え

(1) $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{1}{6}$

(2) $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n = 1$