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数学3 数列･極限問題 7 解説

方針・初手

(1) $x_n > 0$ を帰納的に確認した上で、相加平均と相乗平均の大小関係を用いるか、あるいは $x_{n+1} - \frac{1}{5}$ を直接計算して平方の形を作り出す。 (2) 与えられた式の右辺と左辺の差を計算し、(1) の結果である $x_n \geqq \frac{1}{5}$ を用いてその符号を評価する。 (3) (2) で得られた漸化式型の不等式を繰り返し適用し、はさみうちの原理を用いて極限を求める。

解法1

(1)

まず、すべての自然数 $n$ について $x_n > 0$ であることを数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき $x_1 = 1 > 0$ より成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき $x_k > 0$ と仮定すると、漸化式 $x_{k+1} = \frac{1}{2} \left( x_k + \frac{1}{25x_k} \right)$ より、$x_{k+1} > 0$ となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

したがって、すべての自然数 $n$ について $x_n > 0$ である。

次に、$n \geqq 2$ のとき、相加平均と相乗平均の大小関係を用いると、$x_{n-1} > 0$ および $\frac{1}{25x_{n-1}} > 0$ であるから、

$$x_n = \frac{1}{2} \left( x_{n-1} + \frac{1}{25x_{n-1}} \right) \geqq \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{x_{n-1} \cdot \frac{1}{25x_{n-1}}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$$

よって、$n \geqq 2$ について $x_n \geqq \frac{1}{5}$ が成り立つ。また、$n=1$ のときは $x_1 = 1 \geqq \frac{1}{5}$ となりこれも成り立つ。以上より、すべての自然数 $n$ について $x_n \geqq \frac{1}{5}$ が成り立つ。（証明終）

(2)

示すべき不等式の右辺と左辺の差をとると、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \left( x_n - \frac{1}{5} \right) - \left( x_{n+1} - \frac{1}{5} \right) &= \frac{1}{2} x_n - \frac{1}{10} - \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{1}{25x_n} \right) + \frac{1}{5} \\ &= \frac{1}{2} x_n - \frac{1}{10} - \frac{1}{2} x_n - \frac{1}{50x_n} + \frac{1}{5} \\ &= \frac{1}{10} - \frac{1}{50x_n} \\ &= \frac{5x_n - 1}{50x_n} \end{aligned}$$

(1) の結果より、$x_n \geqq \frac{1}{5}$ であるから、$5x_n - 1 \geqq 0$ かつ $50x_n > 0$ となる。したがって、

$$\frac{5x_n - 1}{50x_n} \geqq 0$$

ゆえに、$\frac{1}{2} \left( x_n - \frac{1}{5} \right) - \left( x_{n+1} - \frac{1}{5} \right) \geqq 0$ すなわち

$$x_{n+1} - \frac{1}{5} \leqq \frac{1}{2} \left( x_n - \frac{1}{5} \right)$$

が成り立つ。（証明終）

(3)

(1) より、すべての自然数 $n$ に対して $x_n - \frac{1}{5} \geqq 0$ である。これと (2) の結果を繰り返し用いると、

$$0 \leqq x_n - \frac{1}{5} \leqq \frac{1}{2} \left( x_{n-1} - \frac{1}{5} \right) \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( x_{n-2} - \frac{1}{5} \right) \leqq \cdots \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \left( x_1 - \frac{1}{5} \right)$$

$x_1 = 1$ であるから、$x_1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ となり、

$$0 \leqq x_n - \frac{1}{5} \leqq \frac{4}{5} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} \left( x_n - \frac{1}{5} \right) = 0$$

したがって、

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{5}$$

解法2

(1)

すべての自然数 $n$ について $x_n > 0$ であることは、解法1と同様に数学的帰納法により示される。 $x_{n+1} - \frac{1}{5}$ を直接計算すると、

$$\begin{aligned} x_{n+1} - \frac{1}{5} &= \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{1}{25x_n} \right) - \frac{1}{5} \\ &= \frac{25x_n^2 + 1}{50x_n} - \frac{10x_n}{50x_n} \\ &= \frac{25x_n^2 - 10x_n + 1}{50x_n} \\ &= \frac{(5x_n - 1)^2}{50x_n} \end{aligned}$$

$x_n > 0$ であり、また実数の平方 $(5x_n - 1)^2 \geqq 0$ であるから、すべての自然数 $n$ に対して

$$\frac{(5x_n - 1)^2}{50x_n} \geqq 0$$

すなわち

$$x_{n+1} - \frac{1}{5} \geqq 0$$

が成り立つ。よって、$n \geqq 2$ のとき $x_n \geqq \frac{1}{5}$ である。 $n=1$ のときは $x_1 = 1 \geqq \frac{1}{5}$ より成立する。以上より、すべての自然数 $n$ について $x_n \geqq \frac{1}{5}$ が成り立つ。（証明終）

解説

方程式 $x^2 - a = 0$ の正の解 $x = \sqrt{a}$ をニュートン法で近似的に求める際に現れる漸化式と本質的に同じ形をした問題である（本問は $a=\frac{1}{25}$）。このような分数型の漸化式は、相加・相乗平均の関係や平方完成を用いて下から評価することが定石である。 (1) において相加・相乗平均の関係を適用する際には、前提条件である「各項が正の数であること（$x_n > 0$）」の確認を怠らないように注意が必要である。 (2) は (3) の極限を求めるための誘導となっており、数列の極限におけるはさみうちの原理の典型的な準備作業である。