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数学3 数列･極限問題 9 解説

方針・初手

(1) は $(1+\sqrt{2})^{n+1}$ を、定義式を用いて2通りに表し、両辺の有理数部分と無理数部分を比較して係数決定を行う。その際、各項が有理数であることを確認する。 (2) は数学的帰納法を用いて証明する。あるいは二項定理を用いて展開し、直接示すこともできる。 (3) は与えられた式と (2) で得られた式を連立させ、$a_n, b_n$ の一般項を求めてから極限を計算する。

解法1

(1)

定義より、自然数 $n$ に対して以下が成り立つ。

$$(1+\sqrt{2})^n = a_n + b_n\sqrt{2}$$

上式の両辺に $1+\sqrt{2}$ を掛けると、

$$(1+\sqrt{2})^{n+1} = (1+\sqrt{2})(a_n + b_n\sqrt{2})$$

右辺を展開して整理すると、

$$(1+\sqrt{2})^{n+1} = a_n + a_n\sqrt{2} + b_n\sqrt{2} + 2b_n$$

$$(1+\sqrt{2})^{n+1} = (a_n + 2b_n) + (a_n + b_n)\sqrt{2}$$

一方で、定義より $n+1$ のときも同様に、

$$(1+\sqrt{2})^{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1}\sqrt{2}$$

が成り立つ。したがって、以下の等式が得られる。

$$a_{n+1} + b_{n+1}\sqrt{2} = (a_n + 2b_n) + (a_n + b_n)\sqrt{2}$$

数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ は整数で定まる数列であるから、$a_n, b_n, a_{n+1}, b_{n+1}$ はすべて整数（したがって有理数）であり、$\sqrt{2}$ は無理数である。有理数 $A, B, C, D$ および無理数 $X$ について、$A+BX = C+DX$ ならば $A=C$ かつ $B=D$ が成り立つので、有理部分と無理部分をそれぞれ比較して、

$$a_{n+1} = a_n + 2b_n$$

$$b_{n+1} = a_n + b_n$$

が成り立つことが示された。

(2)

数学的帰納法を用いて証明する。

(i) $n=1$ のとき

定義の式 $(1+\sqrt{2})^n = a_n + b_n\sqrt{2}$ に $n=1$ を代入すると、

$$1+\sqrt{2} = a_1 + b_1\sqrt{2}$$

$a_1, b_1$ は有理数、$\sqrt{2}$ は無理数であるから、$a_1 = 1, b_1 = 1$ である。このとき、与式の左辺は、

$$a_1 - b_1\sqrt{2} = 1 - \sqrt{2}$$

右辺は $(1-\sqrt{2})^1 = 1 - \sqrt{2}$ となるため、$n=1$ のとき成り立つ。

(ii) $n=k$ （$k$ は自然数）のとき成り立つと仮定する。

すなわち、

$$a_k - b_k\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^k$$

が成り立つと仮定する。 $n=k+1$ のときの左辺を考えると、(1) で示した漸化式を用いて以下のように変形できる。

$$a_{k+1} - b_{k+1}\sqrt{2} = (a_k + 2b_k) - (a_k + b_k)\sqrt{2}$$

$$a_{k+1} - b_{k+1}\sqrt{2} = a_k - a_k\sqrt{2} + 2b_k - b_k\sqrt{2}$$

$$a_{k+1} - b_{k+1}\sqrt{2} = a_k(1-\sqrt{2}) - b_k\sqrt{2}(1-\sqrt{2})$$

$$a_{k+1} - b_{k+1}\sqrt{2} = (a_k - b_k\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$$

ここで帰納法の仮定を用いると、

$$a_{k+1} - b_{k+1}\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^k(1-\sqrt{2})$$

$$a_{k+1} - b_{k+1}\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^{k+1}$$

となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について $a_n - b_n\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^n$ が成り立つことが示された。

(3)

定義で与えられた等式と、(2) で証明した等式を並べる。

$$\begin{cases} a_n + b_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n & \cdots \text{①} \\ a_n - b_n\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^n & \cdots \text{②} \end{cases}$$

①と②の辺々を足し合わせると、

$$2a_n = (1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n$$

$$a_n = \frac{(1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n}{2}$$

①から②の辺々を引くと、

$$2b_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n$$

$$b_n = \frac{(1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}$$

これらを用いて、求める極限の式に代入する。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n}{2}}{\frac{(1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}}$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \cdot \frac{(1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n}{(1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n}$$

分母・分子を公比の絶対値が最大である $(1+\sqrt{2})^n$ で割る。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \cdot \frac{1 + \left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^n}{1 - \left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^n}$$

ここで、$-1 < \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} < 1$ であるため、

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^n = 0$$

となる。したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \sqrt{2} \cdot \frac{1 + 0}{1 - 0} = \sqrt{2}$$

解法2

(2) について、二項定理を用いて示す別解である。

(2)

$(1+\sqrt{2})^n$ を二項定理を用いて展開する。

$$(1+\sqrt{2})^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k (\sqrt{2})^k$$

この和を、$k$ が偶数のときと奇数のときに分ける。

$$(1+\sqrt{2})^n = \sum_{m=0}^{[\frac{n}{2}]} {}_n\mathrm{C}_{2m} (\sqrt{2})^{2m} + \sum_{m=0}^{[\frac{n-1}{2}]} {}_n\mathrm{C}_{2m+1} (\sqrt{2})^{2m+1}$$

$$(1+\sqrt{2})^n = \sum_{m=0}^{[\frac{n}{2}]} {}_n\mathrm{C}_{2m} 2^m + \sqrt{2} \sum_{m=0}^{[\frac{n-1}{2}]} {}_n\mathrm{C}_{2m+1} 2^m$$

これと $a_n + b_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n$ を比較すると、$a_n, b_n$ は整数であるから、無理数の相等条件より以下のように定まる。

$$a_n = \sum_{m=0}^{[\frac{n}{2}]} {}_n\mathrm{C}_{2m} 2^m$$

$$b_n = \sum_{m=0}^{[\frac{n-1}{2}]} {}_n\mathrm{C}_{2m+1} 2^m$$

次に、$(1-\sqrt{2})^n$ を同様に二項定理を用いて展開する。

$$(1-\sqrt{2})^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k (-\sqrt{2})^k$$

$$(1-\sqrt{2})^n = \sum_{m=0}^{[\frac{n}{2}]} {}_n\mathrm{C}_{2m} (-\sqrt{2})^{2m} + \sum_{m=0}^{[\frac{n-1}{2}]} {}_n\mathrm{C}_{2m+1} (-\sqrt{2})^{2m+1}$$

$$(1-\sqrt{2})^n = \sum_{m=0}^{[\frac{n}{2}]} {}_n\mathrm{C}_{2m} 2^m - \sqrt{2} \sum_{m=0}^{[\frac{n-1}{2}]} {}_n\mathrm{C}_{2m+1} 2^m$$

先に求めた $a_n, b_n$ の式と見比べると、この式は次のように表せる。

$$(1-\sqrt{2})^n = a_n - b_n\sqrt{2}$$

よって、$a_n - b_n\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^n$ が示された。

解説

有理数と無理数の混ざった式の累乗に関する、非常に典型的な問題である。$(p+q\sqrt{k})^n = A_n + B_n\sqrt{k}$ と表されるとき、$(p-q\sqrt{k})^n = A_n - B_n\sqrt{k}$ となる性質（共役無理数の性質）は頻出であるため、本問のように自力で証明できるようにしておきたい。 (1) で無理数の相等条件を用いる際は、「$a_n, b_n$ が有理数である」という断りを必ず記述すること。 (3) は等比数列の極限の基本に忠実に、底の絶対値が最大の項で分母分子を割る処理を行えばよい。