数学3 数列･極限 問題 11 解説

方針・初手

(1) は $a_{n+1} = \frac{pa_n+q}{ra_n+s}$ の形をした分数型の漸化式である。特性方程式 $x = \frac{3x - 4}{x - 1}$ を解き、その解を用いて漸化式を変形する。重解 $\alpha$ をもつ場合は、両辺から $\alpha$ を引いて逆数をとることで等差数列に帰着できる。

(2) は (1) で求めた一般項において $n \to \infty$ の極限をとる。

解法1

(1)

漸化式 $a_{n+1} = \frac{3a_n - 4}{a_n - 1}$ に対して、特性方程式 $x = \frac{3x - 4}{x - 1}$ を考える。

$$x(x - 1) = 3x - 4$$

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

$$(x - 2)^2 = 0$$

したがって、重解 $x = 2$ をもつ。 ここで、逆数をとる変形を見据えて、すべての自然数 $n$ について $a_n > 2$ であることを数学的帰納法で示す。

[1] $n = 1$ のとき $a_1 = 3 > 2$ より成り立つ。

[2] $n = k$ （$k$ は自然数）のとき成り立つと仮定する。 すなわち、$a_k > 2$ と仮定する。このとき、

$$a_{k+1} - 2 = \frac{3a_k - 4}{a_k - 1} - 2$$

$$a_{k+1} - 2 = \frac{3a_k - 4 - 2(a_k - 1)}{a_k - 1}$$

$$a_{k+1} - 2 = \frac{a_k - 2}{a_k - 1}$$

帰納法の仮定 $a_k > 2$ より、$a_k - 2 > 0$ かつ $a_k - 1 > 1 > 0$ であるから、$a_{k+1} - 2 > 0$ すなわち $a_{k+1} > 2$ となり、$n = k+1$ のときも成り立つ。

[1], [2] より、すべての自然数 $n$ について $a_n > 2$ である。 とくに $a_n - 1 \neq 0$、$a_n - 2 \neq 0$ であるから、漸化式は常に意味をもち、以下の逆数をとる操作が可能である。

与えられた漸化式の両辺から $2$ を引くと、

$$a_{n+1} - 2 = \frac{a_n - 2}{a_n - 1}$$

両辺の逆数をとると、

$$\frac{1}{a_{n+1} - 2} = \frac{a_n - 1}{a_n - 2}$$

$$\frac{1}{a_{n+1} - 2} = \frac{(a_n - 2) + 1}{a_n - 2}$$

$$\frac{1}{a_{n+1} - 2} = \frac{1}{a_n - 2} + 1$$

数列 $\left\{ \frac{1}{a_n - 2} \right\}$ は、初項が $\frac{1}{a_1 - 2} = \frac{1}{3 - 2} = 1$、公差が $1$ の等差数列である。 したがって、

$$\frac{1}{a_n - 2} = 1 + (n - 1) \cdot 1 = n$$

これより、

$$a_n - 2 = \frac{1}{n}$$

$$a_n = 2 + \frac{1}{n} = \frac{2n + 1}{n}$$

(2)

(1) の結果より、極限は次のように求められる。

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{1}{n} \right) = 2 + 0 = 2$$

解説

分数型の漸化式 $a_{n+1} = \frac{pa_n+q}{ra_n+s}$ の解法の基本となる問題である。 特性方程式 $x = \frac{px+q}{rx+s}$ の解の個数によって、その後の変形方針が異なる。

• 異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ をもつ場合 $a_{n+1} - \alpha$ と $a_{n+1} - \beta$ をそれぞれ計算し、辺々を割ることで $\frac{a_{n+1} - \beta}{a_{n+1} - \alpha} = k \frac{a_n - \beta}{a_n - \alpha}$ の形（等比数列）に帰着させる。
• 重解 $\alpha$ をもつ場合（本問） $a_{n+1} - \alpha$ を計算し、両辺の逆数をとることで $\frac{1}{a_{n+1} - \alpha} = \frac{1}{a_n - \alpha} + d$ の形（等差数列）に帰着させる。

いずれの解法でも、「分母が $0$ にならないこと」の確認（本問では $a_n > 2$ の証明）を帰納法などで厳密に行うことが、論理的な答案作成において重要である。

答え

(1) $a_n = \frac{2n + 1}{n}$

(2) $2$