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数学3 数列･極限問題 21 解説

方針・初手

与えられた隣接3項間漸化式から具体的な項を計算し、階差数列を利用して一般項を求めた後、極限を計算する、誘導に従った標準的な構成である。漸化式の変形により、階差数列が等比数列になることを見抜くのが第一歩となる。

解法1

(1)

与えられた漸化式 $a_{n+2} = (1 - \alpha)a_{n+1} + \alpha a_n$ に $n=1, 2, 3$ を順次代入して計算する。

$n=1$ のとき、$a_1 = 0, a_2 = 1$ より、

$$a_3 = (1 - \alpha)a_2 + \alpha a_1 = (1 - \alpha) \cdot 1 + \alpha \cdot 0 = 1 - \alpha$$

$n=2$ のとき、

$$\begin{aligned} a_4 &= (1 - \alpha)a_3 + \alpha a_2 \\ &= (1 - \alpha)(1 - \alpha) + \alpha \cdot 1 \\ &= (1 - 2\alpha + \alpha^2) + \alpha \\ &= 1 - \alpha + \alpha^2 \end{aligned}$$

$n=3$ のとき、

$$\begin{aligned} a_5 &= (1 - \alpha)a_4 + \alpha a_3 \\ &= (1 - \alpha)(1 - \alpha + \alpha^2) + \alpha(1 - \alpha) \\ &= (1 - \alpha + \alpha^2 - \alpha + \alpha^2 - \alpha^3) + (\alpha - \alpha^2) \\ &= 1 - 2\alpha + 2\alpha^2 - \alpha^3 + \alpha - \alpha^2 \\ &= 1 - \alpha + \alpha^2 - \alpha^3 \end{aligned}$$

(2)

漸化式 $a_{n+2} = (1 - \alpha)a_{n+1} + \alpha a_n$ を変形すると、

$$a_{n+2} - a_{n+1} = -\alpha(a_{n+1} - a_n)$$

となる。ここで、$b_n = a_{n+1} - a_n$ であるから、

$$b_{n+1} = -\alpha b_n$$

と表せる。したがって、数列 $\{b_n\}$ は公比 $-\alpha$ の等比数列である。初項 $b_1$ は、

$$b_1 = a_2 - a_1 = 1 - 0 = 1$$

であるから、数列 $\{b_n\}$ の一般項は、

$$b_n = 1 \cdot (-\alpha)^{n-1} = (-\alpha)^{n-1}$$

(3)

数列 $\{b_n\}$ は数列 $\{a_n\}$ の階差数列であるから、$n \geqq 2$ のとき、

$$\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\ &= 0 + \sum_{k=1}^{n-1} (-\alpha)^{k-1} \end{aligned}$$

これは初項 $1$、公比 $-\alpha$ の等比数列の初項から第 $(n-1)$ 項までの和である。条件 $0 < \alpha < 1$ より $-\alpha \neq 1$ であるから、等比数列の和の公式を用いて計算すると、

$$a_n = \frac{1 - (-\alpha)^{n-1}}{1 - (-\alpha)} = \frac{1 - (-\alpha)^{n-1}}{1 + \alpha}$$

この式において $n=1$ とすると、$a_1 = \frac{1 - (-\alpha)^0}{1+\alpha} = 0$ となり、$n=1$ のときも成り立つ。

よって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$$a_n = \frac{1 - (-\alpha)^{n-1}}{1 + \alpha}$$

(4)

条件 $0 < \alpha < 1$ より、$-1 < -\alpha < 0$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} (-\alpha)^{n-1} = 0$$

となる。これを用いて数列 $\{a_n\}$ の極限を計算すると、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - (-\alpha)^{n-1}}{1 + \alpha} = \frac{1}{1 + \alpha}$$

問題の条件より、$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2}{3}$ であるから、

$$\frac{1}{1 + \alpha} = \frac{2}{3}$$

これを解くと、

$$1 + \alpha = \frac{3}{2}$$

$$\alpha = \frac{1}{2}$$

これは条件 $0 < \alpha < 1$ を満たす。

解説

隣接3項間漸化式 $pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0$ において、係数の和が $p+q+r=0$ となるタイプである。この場合、特性方程式 $px^2 + qx + r = 0$ は必ず $x=1$ を解にもち、漸化式は $a_{n+2} - a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - a_n)$ の形に変形できる。本問は $p=1, q=-(1-\alpha), r=-\alpha$ であり和が $0$ になるため、階差数列が等比数列になることが容易に分かる構成となっている。

極限の計算では、公比の範囲を確認することが重要である。本問では $0 < \alpha < 1$ が与えられているため、$-\alpha$ の絶対値が $1$ より小さいことを明記してから極限をとるようにする。