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数学3 数列･極限問題 23 解説

方針・初手

(1) は、$4^n - 1$ が $15$ の倍数となる条件を求める。$16 \equiv 1 \pmod{15}$ であることに着目し、$n$ の偶奇で場合分けをして合同式を用いて調べる。 (2) は、(1) の結果から数列 $\{a_k\}$ の一般項を求め、集合 $A_k$ に属する $x$ の範囲を不等式で表す。その範囲にある $3$ の倍数の個数、初項、末項を特定し、等差数列の和の公式を用いる。 (3) は、(2) で求めた和 $S_k$ の式から最高次数の項に注目し、分母分子を $4^{4k}$ で割って極限を計算する。

解法1

(1)

$4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{15}$ である。自然数 $n$ の偶奇で場合分けをして考える。

(i) $n$ が偶数のとき $n=2m$ ($m$ は自然数) とおける。

$$4^n - 1 = 4^{2m} - 1 = 16^m - 1 \equiv 1^m - 1 = 0 \pmod{15}$$

となり、$15$ の倍数となる。

(ii) $n$ が奇数のとき $n=2m-1$ ($m$ は自然数) とおける。

$$4^n - 1 = 4^{2m-1} - 1 = 4 \cdot 16^{m-1} - 1 \equiv 4 \cdot 1^{m-1} - 1 = 3 \pmod{15}$$

となり、$15$ の倍数とはならない。

したがって、求める $n$ は偶数である。

(2)

(1) より、数列 $\{a_k\}$ は偶数を小さい順に並べたものであるから、一般項は

$$a_k = 2k$$

である。集合 $A_k$ は

$$2k \leqq \log_4 x \leqq 2k+2$$

を満たす自然数 $x$ の集合である。底 $4$ は $1$ より大きいので、真数の大小関係は

$$4^{2k} \leqq x \leqq 4^{2k+2}$$

$$16^k \leqq x \leqq 16^{k+1}$$

となる。この範囲にある $x$ のうち、$3$ の倍数であるものの和 $S_k$ を求める。 $x = 3m$ ($m$ は整数) とおくと、

$$16^k \leqq 3m \leqq 16^{k+1}$$

ここで、$16 \equiv 1 \pmod 3$ より $16^k \equiv 1^k = 1 \pmod 3$ であるから、$16^k = 3M + 1$ ($M$ は $0$ 以上の整数) と表せる。不等式に代入すると、

$$3M + 1 \leqq 3m \leqq 16(3M + 1)$$

$$3M + 1 \leqq 3m \leqq 48M + 16$$

辺々を $3$ で割ると、

$$M + \frac{1}{3} \leqq m \leqq 16M + 5 + \frac{1}{3}$$

$m$ は整数であるから、取りうる $m$ の範囲は

$$M + 1 \leqq m \leqq 16M + 5$$

となる。よって、$A_k$ に属する $3$ の倍数は、公差 $3$ の等差数列をなし、その項数 $N$ は

$$N = (16M + 5) - (M + 1) + 1 = 15M + 5$$

$M = \frac{16^k - 1}{3}$ を代入して、

$$N = 15 \cdot \frac{16^k - 1}{3} + 5 = 5(16^k - 1) + 5 = 5 \cdot 16^k$$

また、この等差数列の初項と末項に対応する $x$ の値は以下の通りである。初項 ($m = M + 1$ のとき)：

$$3(M + 1) = 3M + 3 = (16^k - 1) + 3 = 16^k + 2$$

末項 ($m = 16M + 5$ のとき)：

$$3(16M + 5) = 48M + 15 = 16(3M) + 15 = 16(16^k - 1) + 15 = 16^{k+1} - 1$$

等差数列の和の公式より、$S_k$ は

$$\begin{aligned} S_k &= \frac{1}{2} N (\text{初項} + \text{末項}) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 16^k \left\{ (16^k + 2) + (16^{k+1} - 1) \right\} \\ &= \frac{5}{2} \cdot 16^k (16^k + 16 \cdot 16^k + 1) \\ &= \frac{5}{2} \cdot 16^k (17 \cdot 16^k + 1) \\ &= \frac{5}{2} (17 \cdot 16^{2k} + 16^k) \\ &= \frac{5}{2} (17 \cdot 4^{4k} + 4^{2k}) \end{aligned}$$

(3)

(2) の結果を用いて極限を計算する。

$$\begin{aligned} \lim_{k \to \infty} \frac{S_k}{4^{4k}} &= \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{5}{2} (17 \cdot 4^{4k} + 4^{2k})}{4^{4k}} \\ &= \lim_{k \to \infty} \frac{5}{2} \left( 17 + \frac{4^{2k}}{4^{4k}} \right) \\ &= \lim_{k \to \infty} \frac{5}{2} \left( 17 + \frac{1}{4^{2k}} \right) \end{aligned}$$

$k \to \infty$ のとき $\frac{1}{4^{2k}} \to 0$ であるから、

$$\lim_{k \to \infty} \frac{S_k}{4^{4k}} = \frac{5}{2} \cdot 17 = \frac{85}{2}$$

解説

(1) は合同式を用いると非常に見通しよく処理できる。記述問題においては、$n$ が奇数のときに $15$ の倍数にならないこと（必要十分条件であること）も忘れずに示さなければならない。 (2) は対数不等式を指数不等式に直し、指定された区間内にある $3$ の倍数を正確に数え上げる問題である。両端の値が $3$ の倍数からどれだけずれているかを把握するため、$16^k \equiv 1 \pmod 3$ に着目して $16^k = 3M+1$ と置き換える処理が有効である。これにより、項数と初項・末項をミスのない形で立式できる。 (3) は (2) さえ正しく求まっていれば、標準的な極限計算に帰着する。最高次の項 $4^{4k}$ で分母分子を割る定石通りの変形である。