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数学3 数列･極限問題 24 解説

方針・初手

$S_n$ と $a_n$ が混在する関係式では、$a_n = S_n - S_{n-1} \ (n \ge 2)$ を用いて $S_n$ のみの関係式に帰着させるのが定石である。(1)で $S_n^2$ の階差数列の一般項が求まるため、(2)はそれを用いて $S_n$ の一般項を求める。(3)は再び $a_n = S_n - S_{n-1}$ を用いて $a_n$ の一般項を求め、極限計算では無理式の有理化により不定形を解消する。

解法1

(1)

与えられた条件式は、

$$S_n = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{2n}{a_n}\right) \quad (n=1, 2, 3, \cdots)$$

である。$n=1$ のとき、$S_1 = a_1$ であるから、

$$a_1 = \frac{1}{2}\left(a_1 + \frac{2}{a_1}\right)$$

両辺に $2a_1$ をかけると、

$$2a_1^2 = a_1^2 + 2$$

$$a_1^2 = 2$$

各項が正であるから $a_1 > 0$ であり、$a_1 = \sqrt{2}$ となる。したがって、

$$S_1 = \sqrt{2}$$

が示された。

次に、$n \ge 2$ のとき、与式を変形すると、

$$2S_n = a_n + \frac{2n}{a_n}$$

両辺に $a_n$ をかけると、

$$2S_n a_n = a_n^2 + 2n$$

ここで、$n \ge 2$ のとき $a_n = S_n - S_{n-1}$ であるから、これを代入して、

$$2S_n (S_n - S_{n-1}) = (S_n - S_{n-1})^2 + 2n$$

展開して整理すると、

$$2S_n^2 - 2S_n S_{n-1} = S_n^2 - 2S_n S_{n-1} + S_{n-1}^2 + 2n$$

$$S_n^2 - S_{n-1}^2 = 2n$$

が示された。

(2)

(1) の結果より、数列 $\{S_n^2\}$ の階差数列の第 $k$ 項（$k \ge 1$）が $2(k+1)$ となる。すなわち、$n \ge 2$ のとき、

$$S_n^2 = S_1^2 + \sum_{k=2}^n 2k$$

$S_1 = \sqrt{2}$ より $S_1^2 = 2$ であるから、

$$S_n^2 = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2}(n-1)(2+n) = 2 + (n-1)(n+2) = n^2 + n = n(n+1)$$

これは $n=1$ のとき、$1 \cdot (1+1) = 2 = S_1^2$ となり成立する。各項が正であるから $a_n > 0$ であり、$S_n = \sum_{k=1}^n a_k > 0$ である。したがって、

$$S_n = \sqrt{n(n+1)} \quad (n=1, 2, 3, \cdots)$$

が示された。

(3)

$n \ge 2$ のとき、(2)の結果より、

$$a_n = S_n - S_{n-1} = \sqrt{n(n+1)} - \sqrt{(n-1)n} = \sqrt{n} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})$$

これは $n=1$ のとき、$\sqrt{1} (\sqrt{2} - 0) = \sqrt{2}$ となり、$a_1 = S_1 = \sqrt{2}$ に一致するため、$n=1$ でも成立する。したがって、

$$a_n = \sqrt{n} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}) \quad (n=1, 2, 3, \cdots)$$

が示された。

極限値については、無理式の差の形なので分子を有理化して計算する。

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} \{(n+1) - (n-1)\}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}}$$

分母分子を $\sqrt{n}$ で割ると、

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n}}}$$

$$= \frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{2} = 1$$

解説

$S_n$ と $a_n$ が混在する漸化式においては、$a_n = S_n - S_{n-1} \ (n \ge 2)$ を用いて、どちらか一方の文字を消去するのが基本手法である。本問では代入後に $S_n$ に統一することで階差数列の形が現れるように誘導されている。また、平方根の差の極限は、そのままでは $\infty - \infty$ の不定形となるため、分母を $1$ とみなして分子の有理化を行い、不定形を解消することが定石である。極限の計算では分母の最高次の項で割ることを意識して処理する。