トップ› 基礎問題› 数学3› 極限› 数列･極限› 問題 25

数学3 数列･極限問題 25 解説

方針・初手

漸化式で定まる数列の極限を求める問題である。 (1)と(2)は、関数 $f(x)$ の単調増加性を利用して数学的帰納法により証明する。 (3)は、方程式 $f(x) = x$ を解くために、両辺の対数をとり $\frac{\log x}{x}$ の関数の増減を調べる。 (4)は、問題文の最後に与えられている不等式 $e^x > 1+x$ において、指数の部分が $\frac{a_n - \alpha}{2} \log 2$ となるように変形を施して証明する。または、平均値の定理を用いて証明することも可能である。 (5)は、(4)で得られた不等式を繰り返し用いて、はさみうちの原理から極限を求める。

解法1

(1)

$f(x) = 2^{\frac{x}{2}}$ は、底が $2 > 1$ であるから、実数全体において単調増加する関数である。すべての自然数 $n$ について、$a_n < a_{n+1}$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき $a_1 = 1$ $a_2 = f(1) = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ $1 < \sqrt{2}$ であるから、$a_1 < a_2$ は成り立つ。

(ii) $n=k$ ($k$ は自然数) のとき $a_k < a_{k+1}$ が成り立つと仮定する。 $f(x)$ は単調増加関数であるから、

$$f(a_k) < f(a_{k+1})$$

すなわち $a_{k+1} < a_{k+2}$ が成り立つ。よって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について $a_n < a_{n+1}$ が成り立つ。（証明終）

(2)

すべての自然数 $n$ について、$a_n < 2$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。

(i) $n=1$ のとき $a_1 = 1 < 2$ より成り立つ。

(ii) $n=k$ ($k$ は自然数) のとき $a_k < 2$ が成り立つと仮定する。 $f(x)$ は単調増加関数であるから、

$$f(a_k) < f(2)$$

ここで、$f(2) = 2^{\frac{2}{2}} = 2^1 = 2$ であるから、

$$a_{k+1} < 2$$

が成り立つ。よって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について $a_n < 2$ が成り立つ。（証明終）

(3)

$f(x) = x$ すなわち $2^{\frac{x}{2}} = x$ を満たす $x$ を求める。 $2^{\frac{x}{2}} > 0$ であるから、$x > 0$ である。両辺の自然対数をとると、

$$\frac{x}{2} \log 2 = \log x$$

両辺を $x$ ($x>0$) で割ると、

$$\frac{\log x}{x} = \frac{\log 2}{2}$$

ここで、$h(x) = \frac{\log x}{x}$ ($x>0$) とおくと、

$$h'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$$

$h'(x) = 0$ となるのは $\log x = 1$ すなわち $x = e$ のときである。 $h(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$e$	$\cdots$
$h'(x)$		$+$	$0$	$-$
$h(x)$		$\nearrow$	$\frac{1}{e}$	$\searrow$

よって、$y = h(x)$ のグラフは $0 < x \le e$ の範囲で単調増加し、$x \ge e$ の範囲で単調減少する。ゆえに、直線 $y = \frac{\log 2}{2}$ との交点は、$0 < x \le e$ の範囲に高々1つ、$x \ge e$ の範囲に高々1つ存在する。ここで、$h(2) = \frac{\log 2}{2}$ であるから、$x=2$ は解の一つである。また、

$$\frac{\log 2}{2} = \frac{2 \log 2}{4} = \frac{\log 2^2}{4} = \frac{\log 4}{4} = h(4)$$

であるから、$x=4$ も解の一つである。 $2 < e < 4$ であるから、$x=2, 4$ が求めるすべての解である。したがって、$x = 2, 4$

(4)

$f(\alpha) = \alpha$ のとき、$2^{\frac{\alpha}{2}} = \alpha$ である。与えられた不等式 $e^x > 1+x$ において、$x = \frac{a_n - \alpha}{2} \log 2$ とおく。 (2)より $a_n < 2$ であり、(3)より $\alpha = 2, 4$ であるから、$a_n < \alpha$ すなわち $a_n - \alpha < 0$ となり、$x \neq 0$ の条件を満たす。したがって、

$$e^{\frac{a_n - \alpha}{2} \log 2} > 1 + \frac{a_n - \alpha}{2} \log 2$$

が成り立つ。この両辺に $-1$ を掛け、さらに両辺に $1$ を加えると、

$$1 - e^{\frac{a_n - \alpha}{2} \log 2} < -\frac{a_n - \alpha}{2} \log 2 = \frac{\log 2}{2}(\alpha - a_n)$$

両辺に $\alpha$ ($\alpha > 0$) を掛けると、

$$\alpha \left( 1 - e^{\frac{a_n - \alpha}{2} \log 2} \right) < \frac{\alpha \log 2}{2} (\alpha - a_n)$$

ここで左辺を変形すると、

$$\alpha \left( 1 - e^{\frac{a_n - \alpha}{2} \log 2} \right) = \alpha - \alpha \cdot e^{\log 2^{\frac{a_n - \alpha}{2}}} = \alpha - \alpha \cdot 2^{\frac{a_n - \alpha}{2}}$$

$\alpha = 2^{\frac{\alpha}{2}}$ であるから、

$$\alpha - 2^{\frac{\alpha}{2}} \cdot 2^{\frac{a_n}{2}} \cdot 2^{-\frac{\alpha}{2}} = \alpha - 2^{\frac{a_n}{2}} = \alpha - f(a_n) = \alpha - a_{n+1}$$

以上より、

$$\alpha - a_{n+1} < \frac{\alpha \log 2}{2} (\alpha - a_n)$$

が成り立つ。（証明終）

(5)

(3)より $f(\alpha) = \alpha$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = 2, 4$ である。 (4)で示された不等式において、$\alpha = 2$ の場合を考える。

$$2 - a_{n+1} < \frac{2 \log 2}{2} (2 - a_n)$$

すなわち、

$$2 - a_{n+1} < (\log 2) (2 - a_n)$$

(2)より、すべての自然数 $n$ について $a_n < 2$ であるから、$2 - a_n > 0$ である。したがって、この不等式を繰り返し用いると、

$$0 < 2 - a_n < (\log 2) (2 - a_{n-1}) < (\log 2)^2 (2 - a_{n-2}) < \cdots < (\log 2)^{n-1} (2 - a_1)$$

$a_1 = 1$ であるから、

$$0 < 2 - a_n < (\log 2)^{n-1}$$

ここで、自然対数の底 $e$ は $e > 2$ であるから、$\log e > \log 2$ すなわち $1 > \log 2$ である。また、$2 > 1$ より $\log 2 > 0$ である。よって $0 < \log 2 < 1$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} (\log 2)^{n-1} = 0$$

はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} (2 - a_n) = 0$$

ゆえに、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 2$$

である。

解説

指数関数を含む漸化式で定められた数列の極限を求める典型的な問題である。 (1)と(2)は関数が単調増加であることを用いて、数列が単調増加であることと有界であることを帰納法で示す。 (3)は直感的に $x=2$ などの解が見つかるが、それ以外に解が存在しないか、あるいは他に解があるかを、$\frac{\log x}{x}$ の関数のグラフの形状から厳密に示す必要がある。 (4)は与えられた不等式 $e^x > 1+x$ をいかに利用するかがポイントとなる。底を $e$ から $2$ に変換し、$\alpha - a_{n+1}$ の形を作り出す式変形が求められる。なお、平均値の定理を用いて証明することも可能であり、その場合は $f(x)$ について区間 $[a_n, \alpha]$ で平均値の定理を適用すれば簡潔に示せる。 (5)において(4)の不等式を利用する際、$\alpha = 4$ を代入すると公比に相当する部分が $\log 4$ となり、$1$ より大きくなってしまうため極限が求まらない。$\alpha = 2$ を選択することで公比が $\log 2 < 1$ となり、はさみうちの原理を適用できる。