数学3 数列･極限 問題 31 解説

方針・初手

与えられた漸化式が累乗と積の形をしているため、両辺の自然対数をとることで和や差の形に帰着させる。対数をとる操作は、数列の各項が正であるという条件から保証されている。その後は、置換された数列 $\{b_n\}$ についての漸化式を解き、階差数列の考え方を用いて元の数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるという定石通りの手順を踏む。

解法1

(1)

定義より、$b_1 = \log a_2 - \log a_1$ である。 与えられた条件 $a_1 = 1, a_2 = \sqrt{e}$ を代入すると、

$$b_1 = \log \sqrt{e} - \log 1$$

$$b_1 = \frac{1}{2} \log e - 0 = \frac{1}{2}$$

(2)

与えられた漸化式 $(a_{n+2})^4 a_n = (a_{n+1})^5$ について、数列 $\{a_n\}$ の各項は正の数からなるため、両辺の自然対数をとることができる。

$$\log \left( (a_{n+2})^4 a_n \right) = \log (a_{n+1})^5$$

対数の性質を用いて展開すると、

$$4 \log a_{n+2} + \log a_n = 5 \log a_{n+1}$$

これを $b_n = \log a_{n+1} - \log a_n$ の形が作れるように変形する。

$$4 \log a_{n+2} - 4 \log a_{n+1} = \log a_{n+1} - \log a_n$$

$$4(\log a_{n+2} - \log a_{n+1}) = \log a_{n+1} - \log a_n$$

ここで、$b_{n+1} = \log a_{n+2} - \log a_{n+1}$ であるから、

$$4 b_{n+1} = b_n$$

$$b_{n+1} = \frac{1}{4} b_n$$

(3)

(1) と (2) の結果から、数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = \frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{4}$ の等比数列である。 よって、数列 $\{b_n\}$ の一般項は、

$$b_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}$$

(4)

$b_n = \log a_{n+1} - \log a_n$ であるから、数列 $\{b_n\}$ は数列 $\{\log a_n\}$ の階差数列である。 $n \geqq 2$ のとき、

$$\log a_n = \log a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

$a_1 = 1$ より $\log a_1 = 0$ であり、(3) で求めた $b_k$ を代入して計算すると、

$$\log a_n = 0 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \right)^{k-1}$$

$$\log a_n = \frac{\frac{1}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} \right\}}{1 - \frac{1}{4}}$$

$$\log a_n = \frac{2}{3} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} \right\}$$

ここで、$n=1$ とすると、右辺は $\frac{2}{3}(1 - 1) = 0$ となり、$\log a_1 = 0$ と一致するため、$n=1$ のときも成り立つ。 対数の定義より、

$$a_n = e^{\frac{2}{3} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} \right\}}$$

次に、極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。 $0 < \frac{1}{4} < 1$ より、$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} = 0$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \log a_n = \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{2}{3}$$

指数関数は連続であるため、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = e^{\frac{2}{3}}$$

解説

積や累乗で表された漸化式において、両辺の対数をとることで和や差で表された漸化式に帰着させる典型的な問題である。対数をとる前には、真数条件を満たすため「数列の各項が正である」ことの確認を忘れないようにする。

(2)の式変形では、求めたい形 $b_n = \log a_{n+1} - \log a_n$ があらかじめ与えられているため、係数を合わせてくくり出す処理を行えば容易に導ける。(4)の階差数列を利用する際は、$n \geqq 2$ という条件の下で和を計算し、最後に $n=1$ の場合でも成立するかを確認するプロセスを省かないことが重要である。

答え

(1) $b_1 = \frac{1}{2}$

(2) $b_{n+1} = \frac{1}{4} b_n$

(3) $b_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1}$

(4) $a_n = e^{\frac{2}{3} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{n-1} \right\}}$

$\lim_{n \to \infty} a_n = e^{\frac{2}{3}}$