数学3 数列･極限 問題 32 解説

方針・初手

数列の極限を求める典型的な誘導問題である。与えられた漸化式 $x_{n+1} = x_n^3 + a$ に対して、関数 $g(x) = x^3 + a$ を考えると、$x_{n+1} = g(x_n)$ と表せる。関数 $g(x)$ の単調増加性や、方程式 $g(x) = x$ の解が $x^3 - x + a = 0$ の解と一致することを利用して、数列 $\{x_n\}$ の範囲と単調性を調べるのが定石である。

解法1

(1) 関数 $g(x) = x^3 + a$ とおくと、漸化式は $x_{n+1} = g(x_n)$ と表せる。 $g'(x) = 3x^2 \ge 0$ より、$g(x)$ は単調増加関数である。 また、$\beta, \gamma$ は $x^3 - x + a = 0$ の解であるから、$\beta^3 - \beta + a = 0$ すなわち $g(\beta) = \beta$ が成り立ち、同様に $g(\gamma) = \gamma$ が成り立つ。 すべての自然数 $n$ について、不等式 $\beta < x_n < \gamma \quad \cdots (*)$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

(i) $n=1$ のとき 条件より $\beta < x_1 < \gamma$ が与えられているため、$(*)$ は成り立つ。

(ii) $n=k$ ($k$ は自然数) のとき $\beta < x_k < \gamma$ が成り立つと仮定する。 $g(x)$ は単調増加関数であるから、

$$g(\beta) < g(x_k) < g(\gamma)$$

が成り立つ。 $g(\beta) = \beta, g(\gamma) = \gamma, g(x_k) = x_{k+1}$ より、

$$\beta < x_{k+1} < \gamma$$

となり、$n=k+1$ のときも $(*)$ は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について $\beta < x_n < \gamma$ が成り立つ。 したがって、特に $\beta < x_n$ が成り立つことが示された。

(2) $f(x) = x^3 - x + a$ とおく。 方程式 $f(x) = 0$ は相異なる3つの実数解をもつため、最も小さい解を $\alpha$ とおくと、$\alpha < \beta < \gamma$ となる。 $f(x)$ の $x^3$ の係数は $1$ であるから、$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ と因数分解できる。 (1) の証明より、すべての自然数 $n$ に対して $\beta < x_n < \gamma$ が成り立つため、$x_n - \alpha > 0$, $x_n - \beta > 0$, $x_n - \gamma < 0$ であり、$f(x_n) < 0$ である。 ここで、

$$x_{n+1} - x_n = x_n^3 + a - x_n = f(x_n)$$

であるから、

$$x_{n+1} - x_n < 0$$

すなわち $x_{n+1} < x_n$ が成り立つ。

(3) 漸化式より、

$$\begin{aligned} x_{n+1} - \beta &= (x_n^3 + a) - (\beta^3 + a) \\ &= x_n^3 - \beta^3 \\ &= (x_n - \beta)(x_n^2 + \beta x_n + \beta^2) \end{aligned}$$

(2) より数列 $\{x_n\}$ は単調減少であるから、すべての自然数 $n$ について $x_n \le x_1$ が成り立つ。 また、条件より $0 < \beta$ であり、(1) より $\beta < x_n$ であるから、$x_n > 0$ である。 したがって、

$$0 < x_n^2 + \beta x_n + \beta^2 \le x_1^2 + \beta x_1 + \beta^2$$

が成り立つ。 さらに、条件 $0 < \beta < x_1 < \frac{1}{\sqrt{3}}$ より、

$$\begin{aligned} x_1^2 + \beta x_1 + \beta^2 &< \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \\ &= 1 \end{aligned}$$

となる。 ここで $r = x_1^2 + \beta x_1 + \beta^2$ とおくと、$0 < r < 1$ であり、

$$0 < x_{n+1} - \beta \le r(x_n - \beta)$$

が成り立つ。 これを繰り返し用いると、

$$0 < x_n - \beta \le r^{n-1}(x_1 - \beta)$$

となる。 $0 < r < 1$ より $\lim_{n \to \infty} r^{n-1} = 0$ であるから、はさみうちの原理により、

$$\lim_{n \to \infty} (x_n - \beta) = 0$$

ゆえに、$\lim_{n \to \infty} x_n = \beta$ が成り立つ。

解説

漸化式 $x_{n+1} = g(x_n)$ で定まる数列の極限を扱う、頻出のテーマである。 (1) では $\beta < x_n$ だけを問われているが、(2) で $x_{n+1} < x_n$ を示す際に $x_n < \gamma$ という上限の情報が必要になるため、(1) の帰納法で $\beta < x_n < \gamma$ をまとめて証明してしまうのが、見通しの良い解法である。 (3) の極限の証明では、$|x_{n+1} - \beta| \le r|x_n - \beta|$ ($0 < r < 1$) の形を作って等比数列で評価するのが定石である。本問では $x^3 - \beta^3$ の因数分解から現れる2次式の部分が、$1$ より小さい正の定数で上から抑えられることを示すことで証明できる。平均値の定理を用いて評価する方法も有力である。

答え

(1) 数学的帰納法により示された。

(2) $x_{n+1} - x_n = f(x_n) < 0$ となることから示された。

(3) 不等式を用いてはさみうちの原理により示された。