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数学3 数列･極限問題 33 解説

方針・初手

1歩か2歩で進む確率漸化式の典型問題である。(1) は直接求め、(2) では「$n+2$ 番目に到達する直前の状態」を考えることで $n$ 番目、$n+1$ 番目との関係を立式する。(3)(4) で漸化式を解き、(5) で極限を求めるが、$p$ の値によって極限の存在が変わる点に注意する。

解法1

(1)

点 $1$ に到達するには、原点から確率 $p$ で $+1$ 移動するしかない。したがって、

$$p_1 = p$$

点 $2$ に到達するには、原点から $+1$ の移動を2回繰り返すか、$+2$ の移動を1回行うかのいずれかである。これらは排反事象であるから、

$$p_2 = p \cdot p_1 + (1-p) = p^2 - p + 1$$

点 $3$ に到達するには、点 $1$ から $+2$ の移動をするか、点 $2$ から $+1$ の移動をするかのいずれかである。これらは排反事象であるから、

$$\begin{aligned} p_3 &= p \cdot p_2 + (1-p) \cdot p_1 \\ &= p(p^2 - p + 1) + (1-p)p \\ &= p^3 - p^2 + p + p - p^2 \\ &= p^3 - 2p^2 + 2p \end{aligned}$$

(2)

点 $n+2$ に到達する直前の状態を考える。直前の位置は、点 $n+1$ または点 $n$ のいずれかであり、それぞれ排反である。点 $n+1$ からは $+1$ の移動（確率 $p$）をすればよく、点 $n$ からは $+2$ の移動（確率 $1-p$）をすればよい。したがって、求める関係式は、

$$p_{n+2} = p p_{n+1} + (1-p) p_n$$

(3)

(2) の関係式を変形すると、

$$\begin{aligned} p_{n+2} - p_{n+1} &= p p_{n+1} - p_{n+1} + (1-p) p_n \\ p_{n+2} - p_{n+1} &= -(1-p) p_{n+1} + (1-p) p_n \\ p_{n+2} - p_{n+1} &= -(1-p) (p_{n+1} - p_n) \end{aligned}$$

ここで、$a_n = p_{n+1} - p_n$ であるから、数列 $\{a_n\}$ が満たす漸化式は、

$$a_{n+1} = -(1-p) a_n$$

(4)

(3) より、数列 $\{a_n\}$ は公比 $-(1-p)$ の等比数列である。初項 $a_1$ は、

$$a_1 = p_2 - p_1 = (p^2 - p + 1) - p = p^2 - 2p + 1 = (1-p)^2$$

よって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$$a_n = (1-p)^2 \{ -(1-p) \}^{n-1} = -(1-p) \{ -(1-p) \}^n = (-1)^{n-1} (1-p)^{n+1}$$

ここで、$n \geqq 2$ のとき、$p_n = p_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ であり、公比 $-(1-p)$ について、常に $1 - \{ -(1-p) \} = 2 - p \neq 0$ （$\because 0 \leqq p \leqq 1$）であるから、等比数列の和の公式を用いて、

$$\begin{aligned} p_n &= p + \frac{(1-p)^2 [ 1 - \{ -(1-p) \}^{n-1} ]}{1 - \{ -(1-p) \}} \\ &= p + \frac{(1-p)^2 - (1-p)^2 \{ -(1-p) \}^{n-1}}{2-p} \\ &= \frac{p(2-p) + (1-p)^2 + (1-p) \{ -(1-p) \}^n}{2-p} \\ &= \frac{2p - p^2 + 1 - 2p + p^2 - \{ -(1-p) \}^{n+1}}{2-p} \\ &= \frac{1 - \{ -(1-p) \}^{n+1}}{2-p} \end{aligned}$$

この式において $n=1$ とすると、

$$p_1 = \frac{1 - (1-p)^2}{2-p} = \frac{2p - p^2}{2-p} = \frac{p(2-p)}{2-p} = p$$

となり、$n=1$ のときも成り立つ。したがって、一般項 $p_n$ は、

$$p_n = \frac{1 - \{ -(1-p) \}^{n+1}}{2-p}$$

(5)

(4) の結果より、$\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めるには $\{ -(1-p) \}^{n+1}$ の極限を考えればよい。 $0 \leqq p \leqq 1$ であるから、公比 $-(1-p)$ のとりうる範囲は $-1 \leqq -(1-p) \leqq 0$ である。極限の振る舞いが変わるため、場合分けを行う。

(i) $0 < p \leqq 1$ のとき

このとき、$-1 < -(1-p) \leqq 0$ となり、$|-(1-p)| < 1$ である。したがって、$\lim_{n \to \infty} \{ -(1-p) \}^{n+1} = 0$ となる。よって、

$$\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1 - 0}{2-p} = \frac{1}{2-p}$$

(ii) $p = 0$ のとき

このとき、$p_n = \frac{1 - (-1)^{n+1}}{2}$ となる。 $n$ が奇数のとき $p_n = 0$、$n$ が偶数のとき $p_n = 1$ となり、数列 $\{p_n\}$ は $0$ と $1$ を交互に繰り返すため、極限は存在しない（振動する）。

解説

階段を1段または2段昇る問題（フィボナッチ数列型）と同様の三項間確率漸化式である。「点 $n+2$ にどうやって到達するか」を直前の状態から場合分けして漸化式を立てるのが定石である。 (5) で極限を求める際、公比 $-(1-p)$ が $-1$ になる場合（$p=0$ のとき）を見落とさないように注意が必要である。公比が $-1$ のときは等比数列が振動するため、数列全体の極限も存在しない。