トップ› 基礎問題› 数学3› 極限› 数列･極限› 問題 36

数学3 数列･極限問題 36 解説

方針・初手

本問は、累乗のタワーとして定義された数列の極限を求める典型的な問題である。誘導に従って関数 $f(x)=(\sqrt{2})^x$ の性質を調べ、数学的帰納法によって数列の有界性を示したのち、平均値の定理を用いて漸化式を不等式評価し、はさみうちの原理で極限を求める。

解法1

(1)

与えられた関数は次のように変形できる。

$$f(x) = (\sqrt{2})^x = 2^{\frac{x}{2}}$$

底が $\sqrt{2} > 1$ であるため、$f(x)$ は単調増加関数である。したがって、$0 \leqq x \leqq 2$ における最大値と最小値は区間の両端でとる。

$$f(0) = (\sqrt{2})^0 = 1$$

$$f(2) = (\sqrt{2})^2 = 2$$

よって、最大値は $2$、最小値は $1$ である。

(2)

$f(x) = 2^{\frac{x}{2}}$ を $x$ について微分する。

$$f'(x) = 2^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \log 2 = \frac{\log 2}{2} (\sqrt{2})^x$$

底が $\sqrt{2} > 1$ であり $\frac{\log 2}{2} > 0$ であるため、$f'(x)$ も単調増加関数である。したがって、$0 \leqq x \leqq 2$ における最大値と最小値は区間の両端でとる。

$$f'(0) = \frac{\log 2}{2} (\sqrt{2})^0 = \frac{\log 2}{2}$$

$$f'(2) = \frac{\log 2}{2} (\sqrt{2})^2 = \log 2$$

よって、最大値は $\log 2$、最小値は $\frac{\log 2}{2}$ である。

(3)

$0 < a_n < 2$ がすべての自然数 $n$ で成り立つことを、数学的帰納法を用いて示す。

(i) $n=1$ のとき

$a_1 = \sqrt{2}$ であり、$1 < \sqrt{2} < 2$ であるから、$0 < a_1 < 2$ は成立する。

(ii) $n=k$ ($k \geqq 1$) のとき

$0 < a_k < 2$ が成立すると仮定する。漸化式より $a_{k+1} = (\sqrt{2})^{a_k} = f(a_k)$ である。(1) より $f(x)$ は単調増加関数であるから、仮定より以下の不等式が成り立つ。

$$f(0) < f(a_k) < f(2)$$

すなわち、$1 < a_{k+1} < 2$ となる。したがって $0 < a_{k+1} < 2$ も成立する。

(i)、(ii) より、すべての自然数 $n$ について $0 < a_n < 2$ が成立する。

(4)

(3) より、すべての自然数 $n$ において $0 < a_n < 2$ が成り立つ。関数 $f(x)$ は閉区間 $[a_n, 2]$ において連続であり、開区間 $(a_n, 2)$ において微分可能である。したがって、平均値の定理より、以下の条件を満たす実数 $c$ が存在する。

$$\frac{f(2) - f(a_n)}{2 - a_n} = f'(c) \quad (a_n < c < 2)$$

ここで、$f(2) = 2$、$f(a_n) = a_{n+1}$ であるから、上式は次のように変形できる。

$$2 - a_{n+1} = f'(c) (2 - a_n)$$

(3) より $a_n < 2$ であるため、$2 - a_n > 0$ である。また、$0 < a_n < c < 2$ であるから、(2) で求めた $f'(x)$ の単調増加性により、次が成り立つ。

$$0 < f'(0) < f'(c) < f'(2)$$

$$0 < f'(c) < \log 2$$

各辺に正の値 $(2 - a_n)$ を掛けることで、以下の不等式を得る。

$$0 < f'(c)(2 - a_n) < (\log 2)(2 - a_n)$$

したがって、次が成立する。

$$0 < 2 - a_{n+1} < (\log 2)(2 - a_n)$$

(5)

(4) で示した不等式を繰り返し用いると、次のように評価できる。

$$\begin{aligned} 0 &< 2 - a_n \\ &< (\log 2)(2 - a_{n-1}) \\ &< (\log 2)^2 (2 - a_{n-2}) \\ &\ \ \vdots \\ &< (\log 2)^{n-1} (2 - a_1) \end{aligned}$$

自然対数の底 $e$ は $e > 2$ であるため、$1 = \log e > \log 2 > 0$ となる。したがって、公比が $\log 2$ の等比数列の極限は $0$ に収束する。

$$\lim_{n \to \infty} (\log 2)^{n-1} = 0$$

これより、次が成り立つ。

$$\lim_{n \to \infty} (\log 2)^{n-1} (2 - a_1) = 0$$

はさみうちの原理より、極限値は次のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} (2 - a_n) = 0$$

よって、求める極限は次である。

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 2$$

解説

$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ のように無限に続く累乗（テトレーション）の極限を求める有名な問題である。漸化式 $a_{n+1} = f(a_n)$ において、方程式 $x = f(x)$ の解を $\alpha$ としたとき、$|a_{n+1} - \alpha| = |f(a_n) - f(\alpha)|$ と変形して平均値の定理を利用し、$|a_{n+1} - \alpha| \leqq r |a_n - \alpha|$（ただし $0 < r < 1$）の形を作り出してはさみうちの原理に持ち込むのは、漸化式と極限における定石手法である。本問では $\alpha = 2$ であり、(4) において平均値の定理を用いることで公比の評価を行っている。平均値の定理を適用する区間とその条件を明記し、さらに $f'(x)$ の単調性から定数倍の上限値を正確に見積もることがポイントである。