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数学3 数列･極限問題 37 解説

方針・初手

与えられた条件 $1 \leqq a_k \leqq n$ および $2a_k \leqq a_{k+1}$ を満たす数列の個数を数え上げる問題である。 (1)は $a_1$ を固定して $a_2$ の個数を数え、足し合わせる。このとき $n$ の偶奇によって場合分けが生じる。 (2)は差分 $S_3(2n+1) - S_3(2n)$ の意味を「$a_3$ の最大値が $2n$ から $2n+1$ に増えることで新たに加わる組の個数」と解釈する。すなわち $a_3 = 2n+1$ と固定されたときの $(a_1, a_2)$ の組の個数を考える。 (3)は(2)の考え方を一般化し、$a_3 = k$ ($k=1, 2, \cdots, n$) としたときの組の個数を足し合わせて $S_3(n)$ を $S_2$ を用いた和で表す。(1)で求めた $S_2$ の式から不等式を作り、はさみうちの原理を用いて極限を求める。

解法1

(1)

$S_2(n)$ は、自然数の組 $(a_1, a_2)$ で、 $1 \leqq a_1 \leqq n, \quad 1 \leqq a_2 \leqq n, \quad 2a_1 \leqq a_2$ を満たすものの個数である。 $a_1$ を固定したとき、条件 $2a_1 \leqq a_2 \leqq n$ を満たす自然数 $a_2$ は $n - 2a_1 + 1$ 個ある。このような $a_2$ が存在する（つまり $n - 2a_1 + 1 \geqq 1$ となる）ための条件は $2a_1 \leqq n$ である。

(i) $n$ が偶数のとき $n = 2l$ （$l$ は自然数）とおける。条件 $2a_1 \leqq 2l$ より、$a_1$ のとり得る範囲は $1 \leqq a_1 \leqq l$ である。したがって、

$$\begin{aligned} S_2(2l) &= \sum_{a_1=1}^l (2l - 2a_1 + 1) \\ &= 2l \cdot l - 2 \cdot \frac{1}{2}l(l+1) + l \\ &= 2l^2 - l^2 - l + l \\ &= l^2 \end{aligned}$$

$l = \frac{n}{2}$ を代入して、$S_2(n) = \frac{n^2}{4}$ となる。

(ii) $n$ が奇数のとき $n = 2l+1$ （$l$ は $0$ 以上の整数）とおける。条件 $2a_1 \leqq 2l+1$ より、$a_1$ は自然数なので $1 \leqq a_1 \leqq l$ である。（$n=1$ つまり $l=0$ のときは条件を満たす $a_1$ は存在せず $S_2(1)=0$ となるが、以下の計算式はこの場合も満たす）したがって、

$$\begin{aligned} S_2(2l+1) &= \sum_{a_1=1}^l (2l+1 - 2a_1 + 1) \\ &= \sum_{a_1=1}^l (2l + 2 - 2a_1) \\ &= (2l+2)l - 2 \cdot \frac{1}{2}l(l+1) \\ &= 2l^2 + 2l - l^2 - l \\ &= l^2 + l \end{aligned}$$

$l = \frac{n-1}{2}$ を代入して、

$$\begin{aligned} S_2(n) &= \left( \frac{n-1}{2} \right)^2 + \frac{n-1}{2} \\ &= \frac{n^2 - 2n + 1 + 2n - 2}{4} \\ &= \frac{n^2-1}{4} \end{aligned}$$

以上より、 $n$ が偶数のとき $S_2(n) = \frac{n^2}{4}$ $n$ が奇数のとき $S_2(n) = \frac{n^2-1}{4}$

(2)

$S_3(n)$ は、自然数の組 $(a_1, a_2, a_3)$ で、 $1 \leqq a_k \leqq n \ (k=1, 2, 3) \quad \text{かつ} \quad 2a_1 \leqq a_2, \ 2a_2 \leqq a_3$ を満たすものの個数である。

$S_3(2n+1) - S_3(2n)$ は、各項が $2n+1$ 以下となる組のうち、各項が $2n$ 以下である組を除いたものである。$a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$ であるため、これは最大の項である $a_3$ が $2n+1$ であるような組の個数に等しい。 $a_3 = 2n+1$ と固定したとき、残りの条件は $2a_1 \leqq a_2 \quad \text{かつ} \quad 2a_2 \leqq 2n+1$ である。

$a_2$ は自然数であるから、$2a_2 \leqq 2n+1$ は $2a_2 \leqq 2n$、すなわち $a_2 \leqq n$ と同値である。このとき、$a_1, a_2$ は $1 \leqq a_1 \leqq n, \quad 1 \leqq a_2 \leqq n, \quad 2a_1 \leqq a_2$ を満たせばよく、これを満たす組 $(a_1, a_2)$ の個数は定義より $S_2(n)$ である。したがって、$S_3(2n+1) - S_3(2n) = S_2(n)$ となる。これを満たす自然数 $j$ は $j=n$ である。

(3)

(2)の考え方を拡張し、$S_3(n)$ を求める。 $a_3 = k$ （$k=1, 2, \cdots, n$）と固定したとき、条件 $2a_2 \leqq k$ を満たす自然数 $a_2$ の範囲は

$$a_2 \leqq \frac{k}{2} \iff a_2 \leqq \left[ \frac{k}{2} \right]$$

となる。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。このとき、条件を満たす組 $(a_1, a_2)$ の個数は、最大値が $\left[ \frac{k}{2} \right]$ で $2a_1 \leqq a_2$ を満たす個数に等しいので、$S_2\left( \left[ \frac{k}{2} \right] \right)$ である。（$\left[ \frac{k}{2} \right] = 0$ となる $k=1$ のときは、条件を満たす自然数 $a_2$ が存在しないため個数は $0$ であり、$S_2(0)=0$ と定義しておけば矛盾しない。）これを $k=1$ から $n$ まで足し合わせることで、$S_3(n)$ は次のように表せる。

$$S_3(n) = \sum_{k=1}^n S_2\left( \left[ \frac{k}{2} \right] \right)$$

ここで、(1) の結果より、任意の自然数 $x$ および $x=0$ に対して

$$\frac{x^2-1}{4} \leqq S_2(x) \leqq \frac{x^2}{4}$$

が成り立つ。$x = \left[ \frac{k}{2} \right]$ を代入すると、

$$\frac{1}{4} \left( \left[ \frac{k}{2} \right]^2 - 1 \right) \leqq S_2\left( \left[ \frac{k}{2} \right] \right) \leqq \frac{1}{4} \left[ \frac{k}{2} \right]^2$$

また、ガウス記号の定義より $\frac{k}{2} - 1 < \left[ \frac{k}{2} \right] \leqq \frac{k}{2}$ であるから、

$$\frac{k^2 - 4k + 4}{4} < \left[ \frac{k}{2} \right]^2 \leqq \frac{k^2}{4}$$

これらを用いて $S_2\left( \left[ \frac{k}{2} \right] \right)$ を評価する。上からの評価：

$$S_2\left( \left[ \frac{k}{2} \right] \right) \leqq \frac{1}{4} \cdot \frac{k^2}{4} = \frac{k^2}{16}$$

下からの評価：

$$\begin{aligned} S_2\left( \left[ \frac{k}{2} \right] \right) &\geqq \frac{1}{4} \left( \frac{k^2 - 4k + 4}{4} - 1 \right) \\ &= \frac{k^2 - 4k}{16} \end{aligned}$$

これらを $k=1$ から $n$ まで足し合わせると、

$$\sum_{k=1}^n \frac{k^2 - 4k}{16} \leqq S_3(n) \leqq \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{16}$$

$$\frac{1}{16} \left( \sum_{k=1}^n k^2 - 4 \sum_{k=1}^n k \right) \leqq S_3(n) \leqq \frac{1}{16} \sum_{k=1}^n k^2$$

各辺を $n^3$ で割り、$n \to \infty$ の極限をとる。右辺について、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{16n^3} \sum_{k=1}^n k^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{16n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2}{96} = \frac{1}{48}$$

左辺について、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{16n^3} \left( \sum_{k=1}^n k^2 - 4 \sum_{k=1}^n k \right) = \frac{1}{48} - \lim_{n \to \infty} \frac{4}{16n^3} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{1}{48} - 0 = \frac{1}{48}$$

はさみうちの原理により、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{S_3(n)}{n^3} = \frac{1}{48}$$

解説

場合の数の和を求める際、最も大きな項（本問では $a_2$ や $a_3$）を固定して順次従属する変数を数え上げるのが定石である。(1)では $n$ の偶奇による場合分けが発生するが、(3)の極限計算を見据えると「$S_2(n)$ がおおよそ $\frac{n^2}{4}$ になる」という感覚を持っておきたい。

(2) は(3)を解くための強力な誘導となっている。差分 $S_3(2n+1) - S_3(2n)$ の意味を考えることで、「$a_3$ を固定すると条件が $S_2$ に帰着する」という数列の階層構造を見抜くことができる。

(3)では、ガウス記号を用いて和を一つの式で表し、不等式で評価してはさみうちの原理に持ち込む手法が簡潔である。真面目に場合分けをしてシグマ計算を完遂することも可能だが、極限値は最高次の項の係数のみで決定されるため、不等式評価を行う方が計算ミスを防ぐことができる。