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数学3 数列･極限問題 40 解説

方針・初手

線分の内分点の公式を用いて、点 ${\rm P}_{n+2}$ の座標 $x_{n+2}$ を $x_n$ と $x_{n+1}$ で表し、隣接3項間の漸化式を立てる。得られた漸化式を等比数列および定数数列の形に変形して一般項 $x_n$ を求め、その後 $n \to \infty$ の極限を考える。

解法1

(1)

点 ${\rm P}_{n+2}$ は線分 ${\rm P}_n{\rm P}_{n+1}$ を $1:2$ に内分する点であるから、その座標 $x_{n+2}$ は内分点の公式より

$$x_{n+2} = \frac{2 x_n + 1 \cdot x_{n+1}}{1 + 2} = \frac{1}{3} x_{n+1} + \frac{2}{3} x_n$$

と表される。これを整理すると、

$$x_{n+2} - \frac{1}{3} x_{n+1} - \frac{2}{3} x_n = 0$$

となる。これは隣接3項間の漸化式であり、特性方程式 $t^2 - \frac{1}{3}t - \frac{2}{3} = 0$ の解が $t = 1, -\frac{2}{3}$ であることを利用して、以下の2通りに変形できる。

$$x_{n+2} - x_{n+1} = -\frac{2}{3} (x_{n+1} - x_n) \cdots \text{①}$$

$$x_{n+2} + \frac{2}{3} x_{n+1} = x_{n+1} + \frac{2}{3} x_n \cdots \text{②}$$

式①より、数列 $\{ x_{n+1} - x_n \}$ は初項 $x_2 - x_1 = b - a$、公比 $-\frac{2}{3}$ の等比数列であるから、

$$x_{n+1} - x_n = (b - a) \left( -\frac{2}{3} \right)^{n-1} \cdots \text{③}$$

となる。

式②より、数列 $\left\{ x_{n+1} + \frac{2}{3} x_n \right\}$ はすべての項が等しい定数数列となるので、

$$x_{n+1} + \frac{2}{3} x_n = x_2 + \frac{2}{3} x_1 = b + \frac{2}{3} a \cdots \text{④}$$

となる。

④から③を辺々引くと、

$$\frac{5}{3} x_n = b + \frac{2}{3} a - (b - a) \left( -\frac{2}{3} \right)^{n-1}$$

となる。これを $x_n$ について整理して、

$$x_n = \frac{2a + 3b}{5} - \frac{3(b - a)}{5} \left( -\frac{2}{3} \right)^{n-1}$$

を得る。これは $n=3, 4, 5, \cdots$ に対して成り立つ。

(2)

(1) で求めた $x_n$ の式において、$n \to \infty$ の極限を考える。公比について $\left| -\frac{2}{3} \right| < 1$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \left( -\frac{2}{3} \right)^{n-1} = 0$$

となる。したがって、

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{2a + 3b}{5}$$

となる。この値は、線分 ${\rm P}_1{\rm P}_2$（両端点の座標が $a, b$）を $3:2$ に内分する点の座標と一致する。

解説

内分点の公式から漸化式を作成し、それを解いて極限を求める標準的な問題である。隣接3項間の漸化式 $x_{n+2} + p x_{n+1} + q x_n = 0$ は、特性方程式 $t^2 + pt + q = 0$ の2解 $\alpha, \beta$ を用いて $x_{n+2} - \alpha x_{n+1} = \beta (x_{n+1} - \alpha x_n)$ と変形して解くのが定石である。 (2)において「どのような点に」と問われているため、単に極限値の数式を答えるだけでなく、その座標が図形的にどのような意味を持つか（ここでは線分 ${\rm P}_1{\rm P}_2$ の内分点）まで言及しておくのが望ましい。