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数学3 数列･極限問題 41 解説

方針・初手

分数型の漸化式 $a_{n+1} = \frac{pa_n + q}{ra_n + s}$ において、誘導に従い変量変換を行う典型問題である。 (1)では、与えられた $b_n$ の定義式と $a_{n+1}$ の漸化式を用いて $b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。その後、得られた隣接2項間漸化式を解き、$b_n$ の一般項を求める。 (2)では、求めた $b_n$ を用いて $a_n$ の一般項を逆算し、その極限を計算する。

解法1

(1)

$b_{n+1} = \frac{1}{a_{n+1} - 2}$ であるから、与えられた漸化式 $a_{n+1} = \frac{3a_n + 4}{a_n + 3}$ を代入する。

$$\begin{aligned} a_{n+1} - 2 &= \frac{3a_n + 4}{a_n + 3} - 2 \\ &= \frac{3a_n + 4 - 2(a_n + 3)}{a_n + 3} \\ &= \frac{a_n - 2}{a_n + 3} \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{aligned} b_{n+1} &= \frac{a_n + 3}{a_n - 2} \\ &= \frac{(a_n - 2) + 5}{a_n - 2} \\ &= 1 + \frac{5}{a_n - 2} \end{aligned}$$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n - 2}$ を用いると、次の漸化式が得られる。

$$b_{n+1} = 5b_n + 1$$

この漸化式を変形すると、特性方程式 $\alpha = 5\alpha + 1$ より $\alpha = -\frac{1}{4}$ となるから、

$$b_{n+1} + \frac{1}{4} = 5 \left( b_n + \frac{1}{4} \right)$$

となる。数列 $\left\{ b_n + \frac{1}{4} \right\}$ は、公比が $5$ の等比数列である。その初項は、

$$b_1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{a_1 - 2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{8 - 2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$$

である。よって、数列 $\left\{ b_n + \frac{1}{4} \right\}$ の一般項は、

$$b_n + \frac{1}{4} = \frac{5}{12} \cdot 5^{n-1}$$

したがって、$b_n$ の一般項は、

$$\begin{aligned} b_n &= \frac{5^n}{12} - \frac{1}{4} \\ &= \frac{5^n - 3}{12} \end{aligned}$$

(2)

$b_n = \frac{1}{a_n - 2}$ を $a_n$ について解くと、

$$a_n - 2 = \frac{1}{b_n}$$

$$a_n = 2 + \frac{1}{b_n}$$

これに(1)で求めた $b_n$ を代入すると、数列 $\{a_n\}$ の一般項が得られる。

$$\begin{aligned} a_n &= 2 + \frac{12}{5^n - 3} \\ &= \frac{2(5^n - 3) + 12}{5^n - 3} \\ &= \frac{2 \cdot 5^n + 6}{5^n - 3} \end{aligned}$$

次に、$n \to \infty$ のときの極限を求める。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} a_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 5^n + 6}{5^n - 3} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{6}{5^n}}{1 - \frac{3}{5^n}} \\ &= \frac{2 + 0}{1 - 0} \\ &= 2 \end{aligned}$$

解説

分数型の漸化式 $a_{n+1} = \frac{pa_n + q}{ra_n + s}$ については、特性方程式 $x = \frac{px + q}{rx + s}$ の解を利用して変量変換を行う解法が定石である。本問の特性方程式 $x = \frac{3x + 4}{x + 3}$ を解くと、$x^2 + 3x = 3x + 4$ より $x^2 = 4$、すなわち $x = \pm 2$ となる。問題で与えられた誘導 $b_n = \frac{1}{a_n - 2}$ は、この解の一つ $x = 2$ を利用したものである。誘導が丁寧であるため、計算ミスに気をつけて $b_{n+1}$ を $b_n$ で表すことに集中すればよい。極限の計算では、分母・分子を底の絶対値が最大の指数関数（この場合は $5^n$）で割ることで不定形を解消する。