数学3 数列･極限 問題 43 解説

方針・初手

与えられた漸化式が分数式の形をしていることに着目し、両辺の逆数をとることで計算を進める。逆数をとるためには各項が $0$ でないことの確認が必要である。

解法1

$a_1 = 1 > 0$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n(a_{n+1}+1)}{1+4na_n}$ より、すべての自然数 $n$ について $a_n > 0$ であることが数学的帰納法によりわかる。 したがって、与えられた漸化式の両辺の逆数をとることができ、

$$\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}} = \frac{1+4na_n}{a_n}$$

$$1 + \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 4n$$

$$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 4n - 1$$

となる。これにより、数列 $\left\{ \frac{1}{a_n} \right\}$ の階差数列の一般項が $4n-1$ であることがわかる。 $n \geqq 2$ のとき、

$$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1)$$

$$\frac{1}{a_n} = 1 + 4 \cdot \frac{1}{2}n(n-1) - (n-1)$$

$$\frac{1}{a_n} = 2n^2 - 3n + 2$$

この式に $n=1$ を代入すると、$\frac{1}{a_1} = 2\cdot 1^2 - 3\cdot 1 + 2 = 1$ となり、$a_1 = 1$ と一致するため、$n=1$ のときも成り立つ。 したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$$a_n = \frac{1}{2n^2 - 3n + 2}$$

である。これが①である。

次に極限を求める。

$$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2n^2 - 3n + 2}$$

分母と分子を $n^2$ で割ると、

$$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}$$

$n \to \infty$ のとき $\frac{3}{n} \to 0$、$\frac{2}{n^2} \to 0$ であるから、

$$\lim_{n\to\infty} n^2 a_n = \frac{1}{2}$$

である。これが②である。

解説

分数型の漸化式において、両辺の逆数をとることで階差数列や等差数列に帰着させる典型的な問題である。 逆数をとる際には、分母が $0$ にならないこと（$a_n \neq 0$ および $a_{n+1} \neq 0$）を簡潔に示しておくことが、論理の飛躍を防ぐために重要である。 後半の極限計算は、分母と分子を最高次数の $n^2$ で割る基本処理であり、特につまずくポイントはない。

答え

① $\frac{1}{2n^2 - 3n + 2}$

② $\frac{1}{2}$