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数学3 数列･極限問題 44 解説

方針・初手

連立漸化式を解くために、一方の数列を消去し、隣接3項間漸化式に帰着させるのが定石である。本問では誘導に従って $a_n$ についての漸化式を作成し、特性方程式を利用して一般項を求める。求めた $a_n$ を用いて $b_n$ も導出し、最後に極限を計算する。

解法1

(1)

与えられた漸化式は以下の通りである。

$$a_{n+1} = 2a_n + 6b_n \cdots ①$$

$$b_{n+1} = 2a_n + 3b_n \cdots ②$$

①より、$b_n$ を $a_{n+1}$ と $a_n$ で表す。

$$b_n = \frac{1}{6}(a_{n+1} - 2a_n) \cdots ③$$

番号 $n$ を1つ進めると以下の式を得る。

$$b_{n+1} = \frac{1}{6}(a_{n+2} - 2a_{n+1}) \cdots ④$$

③、④を②に代入して $b_n$、$b_{n+1}$ を消去する。

$$\frac{1}{6}(a_{n+2} - 2a_{n+1}) = 2a_n + 3 \cdot \frac{1}{6}(a_{n+1} - 2a_n)$$

両辺を6倍して整理する。

$$a_{n+2} - 2a_{n+1} = 12a_n + 3(a_{n+1} - 2a_n)$$

$$a_{n+2} - 5a_{n+1} - 6a_n = 0 \cdots ⑤$$

この式が $a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n)$ を満たすとする。右辺を展開して整理すると以下のようになる。

$$a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0$$

⑤と係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} \alpha + \beta = 5 \\ \alpha \beta = -6 \end{cases}$$

解と係数の関係より、$\alpha, \beta$ は2次方程式 $t^2 - 5t - 6 = 0$ の2つの解である。

$$(t - 6)(t + 1) = 0$$

$$t = 6, -1$$

したがって、求める定数の組は $(\alpha, \beta) = (6, -1)$ または $(-1, 6)$ となる。

(2)

(1)の結果から、数列 $\{a_n\}$ は次の2つの等式を満たす。

$$a_{n+2} - 6a_{n+1} = -(a_{n+1} - 6a_n) \cdots ⑥$$

$$a_{n+2} + a_{n+1} = 6(a_{n+1} + a_n) \cdots ⑦$$

また、初期条件と①より $a_2$ を求める。

$$a_2 = 2a_1 + 6b_1 = 2 \cdot 1 + 6 \cdot 1 = 8$$

⑥より、数列 $\{a_{n+1} - 6a_n\}$ は初項 $a_2 - 6a_1 = 8 - 6 \cdot 1 = 2$、公比 $-1$ の等比数列である。

$$a_{n+1} - 6a_n = 2(-1)^{n-1} \cdots ⑧$$

⑦より、数列 $\{a_{n+1} + a_n\}$ は初項 $a_2 + a_1 = 8 + 1 = 9$、公比 $6$ の等比数列である。

$$a_{n+1} + a_n = 9 \cdot 6^{n-1} \cdots ⑨$$

⑨から⑧を引いて $a_{n+1}$ を消去する。

$$7a_n = 9 \cdot 6^{n-1} - 2(-1)^{n-1}$$

$$a_n = \frac{9}{7} \cdot 6^{n-1} - \frac{2}{7}(-1)^{n-1}$$

(3)

極限値を求めるために、まず $b_n$ の一般項を求める。③に(2)で求めた $a_n$ を代入する。

$$a_{n+1} = \frac{9}{7} \cdot 6^n - \frac{2}{7}(-1)^n = \frac{54}{7} \cdot 6^{n-1} + \frac{2}{7}(-1)^{n-1}$$

$$2a_n = \frac{18}{7} \cdot 6^{n-1} - \frac{4}{7}(-1)^{n-1}$$

よって、$b_n$ は次のように計算できる。

$$b_n = \frac{1}{6}(a_{n+1} - 2a_n)$$

$$b_n = \frac{1}{6} \left( \frac{36}{7} \cdot 6^{n-1} + \frac{6}{7}(-1)^{n-1} \right) = \frac{6}{7} \cdot 6^{n-1} + \frac{1}{7}(-1)^{n-1}$$

これらを用いて $\frac{a_n}{b_n}$ の極限を計算する。分母の最大公比である $6^{n-1}$ で分母分子を割る。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{9}{7} \cdot 6^{n-1} - \frac{2}{7}(-1)^{n-1}}{\frac{6}{7} \cdot 6^{n-1} + \frac{1}{7}(-1)^{n-1}}$$

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{9}{7} - \frac{2}{7} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1}}{\frac{6}{7} + \frac{1}{7} \left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1}}$$

$n \to \infty$ のとき $\left( -\frac{1}{6} \right)^{n-1} \to 0$ となるため、極限値は以下のようになる。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\frac{9}{7}}{\frac{6}{7}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$