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数学3 数列･極限問題 45 解説

方針・初手

与えられた漸化式は $a_n$ と $S_n$ が混在している。和と一般項の関係 $a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$ を用いて、$S_n$ のみの方程式に帰着させるのが定石である。$n=1, 2$ の場合は個別に処理し、$n \geqq 3$ における $S_n$ の一般項を求めた後、極限の条件 $\lim_{n\to\infty} S_n = 1$ から未定の定数を決定する。

解法1

与えられた関係式は以下の通りである。

$$a_1 = 1$$

$$\lim_{n \to \infty} S_n = 1$$

$$n(n-2)a_{n+1} = S_n \quad (n \geqq 1)$$

$S_1 = a_1 = 1$ である。第3の式に $n=1$ を代入すると、

$$1 \cdot (1-2) a_2 = S_1$$

$$-a_2 = 1 \iff a_2 = -1$$

となる。よって、$S_2 = a_1 + a_2 = 1 + (-1) = 0$ である。

次に、第3の式に $n=2$ を代入すると、

$$2 \cdot 0 \cdot a_3 = S_2$$

これは $0 = 0$ となり、$a_3$ の値を定めることはできないため、$S_3$ もこの時点では定まらない。

$n \geqq 1$ において $a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$ が成り立つから、これを第3の式に代入する。

$$n(n-2)(S_{n+1} - S_n) = S_n$$

$$n(n-2)S_{n+1} = \{n(n-2) + 1\} S_n$$

$$n(n-2)S_{n+1} = (n-1)^2 S_n$$

$n \geqq 3$ のとき、$n-2 \neq 0$ かつ $n-1 \neq 0$ であるから、両辺に $\frac{n}{n-1}$ を掛けて形を整える。

$$\frac{n}{n-1} S_{n+1} = \frac{n-1}{n-2} S_n$$

これは、数列 $\left\{ \frac{n-1}{n-2} S_n \right\}$ が $n \geqq 3$ において定数数列であることを意味する。したがって、

$$\frac{n-1}{n-2} S_n = \frac{3-1}{3-2} S_3 = 2S_3$$

となり、$n \geqq 3$ における $S_n$ は次のように表される。

$$S_n = \frac{2(n-2)}{n-1} S_3$$

ここで、極限の条件 $\lim_{n \to \infty} S_n = 1$ を用いる。

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2\left(1 - \frac{2}{n}\right)}{1 - \frac{1}{n}} S_3 = 2S_3$$

よって、$2S_3 = 1$ となり、$S_3 = \frac{1}{2}$ であることが分かる。これを $S_n$ の式に代入すると、$n \geqq 3$ において、

$$S_n = \frac{n-2}{n-1}$$

となる。

次に、$n \geqq 4$ における一般項 $a_n$ を求める。

$$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{n-2}{n-1} - \frac{n-3}{n-2}$$

$$a_n = \frac{(n-2)^2 - (n-1)(n-3)}{(n-1)(n-2)}$$

$$a_n = \frac{1}{(n-1)(n-2)}$$

この式に $n=3$ を代入すると $\frac{1}{(3-1)(3-2)} = \frac{1}{2}$ となる。一方、実際の $a_3$ は $a_3 = S_3 - S_2 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ であるから、求めた $a_n$ の式は $n=3$ のときも成り立つ。

以上より、求める一般項 $a_n$ は $n=1, 2$ の場合と $n \geqq 3$ の場合で分けて表される。

解説

数列の和 $S_n$ と一般項 $a_n$ が混在した漸化式では、$a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$ （または $a_n = S_n - S_{n-1}$）を用いて $S_n$ または $a_n$ だけの漸化式に直すのが基本手法である。本問では $n=1, 2$ のときに漸化式の係数が $0$ になるため、$n \geqq 3$ で考える必要がある点が大きな罠となっている。変形した漸化式から $\frac{n-1}{n-2} S_n$ という塊を見出して一定であることに気づけると、計算が非常にスムーズに進む。