数学3 数列･極限 問題 56 解説

方針・初手

与えられた非線形漸化式 $x_{i+1} = f(x_i)$ によって定まる数列の極限を調べる問題。(1)から(4)の誘導に従って、数列の単調性と有界性を段階的に示し、はさみうちの原理を利用して極限を求める。

解法1

(1) 与えられた漸化式より、隣り合う項の差をとると

$$x_{i+1} - x_i = \frac{x_i^2 + 1}{2} - x_i = \frac{x_i^2 - 2x_i + 1}{2} = \frac{(x_i - 1)^2}{2}$$

任意の実数 $x_i$ に対して $(x_i - 1)^2 \geqq 0$ であるから、

$$x_{i+1} - x_i \geqq 0$$

よって、すべての自然数 $i$ に対して $x_{i+1} \geqq x_i$ が成り立つ。

(2) すべての自然数 $i$ に対して $x_i \leqq 1$ が成り立つことを、数学的帰納法で示す。

[1] $i=1$ のとき 仮定より $|x_1| \leqq 1$ であるから、$x_1 \leqq 1$ となり成り立つ。

[2] $i=k$（$k$ は自然数）のとき、$x_k \leqq 1$ が成り立つと仮定する。 $x_{k+1} - 1$ を計算すると、

$$x_{k+1} - 1 = \frac{x_k^2 + 1}{2} - 1 = \frac{x_k^2 - 1}{2} = \frac{(x_k - 1)(x_k + 1)}{2}$$

帰納法の仮定より $x_k - 1 \leqq 0$ である。 また、(1)の結果から数列 $\{x_i\}$ は単調に増加するため、$x_k \geqq x_1$ である。$|x_1| \leqq 1$ より $x_1 \geqq -1$ であるから、$x_k \geqq -1$ すなわち $x_k + 1 \geqq 0$ となる。 したがって、$(x_k - 1)(x_k + 1) \leqq 0$ となるため、

$$x_{k+1} - 1 \leqq 0$$

すなわち $x_{k+1} \leqq 1$ となり、$i=k+1$ のときも成り立つ。

[1], [2] より、すべての自然数 $i$ に対して $x_i \leqq 1$ である。

(3) (1)の計算過程より、以下の等式が成り立つ。

$$x_{i+1} - x_i = \frac{1}{2}(x_i - 1)^2$$

この式の $i$ に $1, 2, \dots, n$ を代入して辺々を加えると、

$$\sum_{i=1}^n (x_{i+1} - x_i) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (x_i - 1)^2$$

左辺は和を展開すると途中項が相殺されて $x_{n+1} - x_1$ となるため、

$$x_{n+1} - x_1 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (x_i - 1)^2$$

が成り立つ。

(4) (1)より数列 $\{x_i\}$ は単調増加であるから、$1 \leqq i \leqq n$ を満たす自然数 $i$ について $x_i \leqq x_n$ である。 また、(2)より $|x_1| \leqq 1$ のときすべての自然数について $x_i \leqq 1$ であるから、

$$x_i - 1 \leqq x_n - 1 \leqq 0$$

辺々が $0$ 以下であるため、2乗すると大小関係が逆転し、

$$(x_i - 1)^2 \geqq (x_n - 1)^2$$

が成り立つ。この不等式を用いて(3)の右辺を下から評価すると、

$$\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (x_i - 1)^2 \geqq \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (x_n - 1)^2 = \frac{1}{2} n (x_n - 1)^2$$

(3)の等式と合わせることで、

$$x_{n+1} - x_1 \geqq \frac{n}{2} (x_n - 1)^2$$

が成り立つ。

(5) 初項 $x_1$ の値によって場合分けを行う。

(i) $|x_1| \leqq 1$ のとき (4)の不等式より、

$$(x_n - 1)^2 \leqq \frac{2(x_{n+1} - x_1)}{n}$$

(2)より $x_{n+1} \leqq 1$ であるから、$x_{n+1} - x_1 \leqq 1 - x_1$ となる。したがって、

$$0 \leqq (x_n - 1)^2 \leqq \frac{2(1 - x_1)}{n}$$

$n \to \infty$ のとき右辺は $0$ に収束するため、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} (x_n - 1)^2 = 0$$

よって、$\lim_{n \to \infty} x_n = 1$ となり、数列は $1$ に収束する。

(ii) $|x_1| > 1$ のとき $|x_1| > 1$ より $x_1^2 > 1$ であるから、

$$x_2 = \frac{x_1^2 + 1}{2} > \frac{1 + 1}{2} = 1$$

(1)より数列 $\{x_i\}$ は単調に増加するため、$n \geqq 2$ において $x_n \geqq x_2 > 1$ が成り立つ。 $n \geqq 2$ のとき、(1)の式から

$$x_{n+1} - x_n = \frac{(x_n - 1)^2}{2} \geqq \frac{(x_2 - 1)^2}{2}$$

ここで $c = \frac{(x_2 - 1)^2}{2}$ とおくと、$x_2 > 1$ より $c > 0$ である。 $n \geqq 2$ のとき $x_{n+1} - x_n \geqq c$ であるから、$n \geqq 2$ において等差数列との比較より、

$$x_n \geqq x_2 + (n - 2)c$$

$c > 0$ であるから、$n \to \infty$ のとき $x_2 + (n - 2)c \to \infty$ となる。 したがって、数列 $\{x_n\}$ は正の無限大に発散する。

解説

「上に有界な単調増加数列は収束する（単調収束定理）」という大学数学の定石を背景に持つ典型的な極限問題である。 高校数学の範囲ではこの定理を無証明で用いることはできないため、本問のように評価式を自ら構築し、はさみうちの原理によって極限値を求める手順が誘導として設定されている。 (5)における発散の証明では、単に「極限値を持つと仮定すると矛盾する」とするだけでなく、階差が一定の正の値以上になることを示し、等差数列を下からの評価関数として用いることで正の無限大に発散することを厳密に論証できる。

答え

$|x_1| \leqq 1$ のとき、収束して極限値は $1$

$|x_1| > 1$ のとき、正の無限大に発散する