数学3 数列･極限 問題 61 解説

方針・初手

• (1)はすべての自然数 $n$ について成り立つことを示すため、数学的帰納法を用いる。
• (2)は無理式を含む漸化式において、極限値との差を評価する典型的な変形である。分子の有理化を行って $|a_n - 3|$ をくくり出し、(1)の結果を用いて係数を評価する。
• (3)は(2)で得られた不等式を繰り返し用いて一般項と極限値との差を評価し、はさみうちの原理を適用する。

解法1

(1)

数学的帰納法を用いて証明する。

(i) $n=1$ のとき 与えられた条件より $a_1 = 2$ であるから、$2 \leqq a_1 \leqq 3$ が成り立つ。

(ii) $n=k$ （$k$ は自然数）のとき $2 \leqq a_k \leqq 3$ が成り立つと仮定する。 この不等式の各辺を $4$ 倍して $3$ を引くと、

$$8 - 3 \leqq 4a_k - 3 \leqq 12 - 3$$

$$5 \leqq 4a_k - 3 \leqq 9$$

各辺は正であるから、平方根をとると、

$$\sqrt{5} \leqq \sqrt{4a_k - 3} \leqq \sqrt{9}$$

$$\sqrt{5} \leqq a_{k+1} \leqq 3$$

ここで、$2 < \sqrt{5}$ であるから、

$$2 \leqq a_{k+1} \leqq 3$$

が成り立つ。よって、$n=k+1$ のときも不等式は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について、$2 \leqq a_n \leqq 3$ が成り立つことが証明された。

(2)

漸化式より、$a_{n+1} - 3$ を計算し、分子の有理化を行う。

$$\begin{aligned} a_{n+1} - 3 &= \sqrt{4a_n - 3} - 3 \\ &= \frac{(\sqrt{4a_n - 3} - 3)(\sqrt{4a_n - 3} + 3)}{\sqrt{4a_n - 3} + 3} \\ &= \frac{(4a_n - 3) - 9}{\sqrt{4a_n - 3} + 3} \\ &= \frac{4a_n - 12}{\sqrt{4a_n - 3} + 3} \\ &= \frac{4(a_n - 3)}{\sqrt{4a_n - 3} + 3} \end{aligned}$$

両辺の絶対値をとると、

$$|a_{n+1} - 3| = \frac{4}{\sqrt{4a_n - 3} + 3} |a_n - 3|$$

ここで、(1)より $a_n \geqq 2$ であるから、

$$\sqrt{4a_n - 3} \geqq \sqrt{4 \cdot 2 - 3} = \sqrt{5} > 2$$

となるため、分母について以下の不等式が成り立つ。

$$\sqrt{4a_n - 3} + 3 > 2 + 3 = 5$$

したがって、

$$\frac{4}{\sqrt{4a_n - 3} + 3} < \frac{4}{5}$$

であるから、

$$|a_{n+1} - 3| \leqq \frac{4}{5} |a_n - 3|$$

が成り立つ。

(3)

(2)の不等式を繰り返し用いると、

$$\begin{aligned} |a_n - 3| &\leqq \frac{4}{5} |a_{n-1} - 3| \\ &\leqq \left(\frac{4}{5}\right)^2 |a_{n-2} - 3| \\ &\quad \vdots \\ &\leqq \left(\frac{4}{5}\right)^{n-1} |a_1 - 3| \end{aligned}$$

$a_1 = 2$ より $|a_1 - 3| = |-1| = 1$ であるから、

$$0 \leqq |a_n - 3| \leqq \left(\frac{4}{5}\right)^{n-1}$$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{5}\right)^{n-1} = 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} |a_n - 3| = 0$$

ゆえに、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = 3$$

となる。

解説

• $a_{n+1} = f(a_n)$ 型の漸化式で定められた数列の極限を求める典型的な問題である。
• 特性方程式 $\alpha = \sqrt{4\alpha - 3}$ を解くと $\alpha = 1, 3$ となるが、初期値と単調性から $a_n$ が $3$ に収束することが推測できる。
• (2)において無理式を含む式の差を評価する際は、分子の有理化を行い因数 $a_n - 3$ をくくり出す手法が定石となる。

答え

(1) 略（証明問題のため）

(2) 略（証明問題のため）

(3) $3$