数学A 場合の数 問題 3 解説

方針・初手

赤玉どうしが隣り合わないようにするには、先に白玉を並べて、その間に赤玉を入れる位置を考えるのが自然である。

白玉を7個並べると、赤玉を入れられる場所は、白玉の間6か所と両端2か所の合計8か所できる。

解法1

まず白玉7個を1列に並べる。

$$ \circ \ \circ \ \circ \ \circ \ \circ \ \circ \ \circ $$

このとき、赤玉を入れられる場所は次の8か所である。

$$ _ \circ _ \circ _ \circ _ \circ _ \circ _ \circ _ \circ _ $$

赤玉が隣り合わないためには、1つのすき間に赤玉を2個以上入れてはいけない。したがって、8か所のすき間から赤玉を入れる3か所を選べばよい。

よって、求める並べ方の数は

$$ \begin{aligned} {}_8C_3 &= \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ 56 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、白玉どうし、赤玉どうしは区別しないものとして、色の並びを数える。

赤玉を直接並べようとすると「隣り合わない」という条件の処理が面倒になる。そこで、白玉を先に並べて赤玉を入れるすき間を考えると、赤玉どうしが隣り合わない条件は「同じすき間を選ばない」という条件に置き換わる。

白玉7個のまわりにできるすき間は、両端を含めて $7+1=8$ か所である。そこから3か所を選ぶだけなので、組合せで処理できる。

答え

$$ 56 $$