数学A 場合の数 問題 4 解説

方針・初手

同じ文字が含まれる順列である。8文字のうち、$A$ が2個、$I$ が2個あり、それ以外の $K,Y,O,D$ はそれぞれ1個ずつである。

まず8個すべてを異なるものとして並べ、その後、同じ文字を入れ替えても同じ並びになる分だけ割る。

解法1

8文字すべてを区別できるものとして考えると、並べ方は

$$ 8! $$

通りである。

しかし、実際には $A$ が2個あり、この2個を入れ替えても並び方は変わらない。そのため、$2!$ 通り分だけ重複して数えている。

同様に、$I$ も2個あり、この2個を入れ替えても並び方は変わらないので、さらに $2!$ 通り分だけ重複している。

したがって、求める並べ方の総数は

$$ \frac{8!}{2!2!} $$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{8!}{2!2!} &= \frac{40320}{4} \\ 10080 \end{aligned} $$

となる。

解説

同じものを含む順列では、まずすべてを区別して並べ、同じものどうしの入れ替えによる重複を割る。

この問題では、重複している文字は $A$ と $I$ の2種類であり、それぞれ2個ずつである。したがって、$2!$ と $2!$ で割る必要がある。

$K,A,I,Y,O,D,A,I$ の8文字を見たときに、$A$ と $I$ の重複を見落とさないことが重要である。

答え

$$ 10080 $$