数学A 場合の数 問題 7 解説

方針・初手

2人組を作る問題では、組の中の順序と組どうしの順序を数えすぎないようにすることが重要である。

まず $2n$ 人を選び、その $2n$ 人を $n$ 個の2人組に分けると考える。

解法1

6人から2人ずつの組を3組作る場合、まず6人を1列に並べ、前から2人ずつ区切ると考える。

この方法では、並べ方は $6!$ 通りである。しかし、各組の中の2人の順序は関係ないので、各組について $2!$ 通りずつ数えすぎている。また、3つの組の順序も関係ないので、$3!$ 通り数えすぎている。

したがって、求める総数は

$$ \begin{aligned} \frac{6!}{(2!)^3 3!} &= \frac{720}{8\cdot 6} \\ 15 \end{aligned} $$

である。

次に、14人から2人ずつの組を $n$ 組作る場合を考える。ただし、$n=1,2,\dots,7$ である。

まず、14人のうち、組に入る $2n$ 人を選ぶ。この選び方は

$$ {}*{14}C*{2n} $$

通りである。

次に、選んだ $2n$ 人を $n$ 個の2人組に分ける。$2n$ 人を1列に並べて前から2人ずつ区切ると、並べ方は $(2n)!$ 通りである。しかし、各組の中の2人の順序をそれぞれ $2!$ 通りずつ、さらに $n$ 個の組の順序を $n!$ 通りだけ数えすぎている。

よって、$2n$ 人を $n$ 個の2人組に分ける方法は

$$ \frac{(2n)!}{(2!)^n n!} $$

通りである。

したがって、

$$ \begin{aligned} S_n &= {}*{14}C*{2n}\frac{(2n)!}{(2!)^n n!} \end{aligned} $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} S_n &= \frac{14!}{(14-2n)!2^n n!} \end{aligned} $$

となる。

次に、

$$ \frac{S_{n+1}}{S_n} $$

を計算する。$S_{n+1}$ が定義されるため、ここでは $n=1,2,\dots,6$ で考える。

$$ \begin{aligned} \frac{S_{n+1}}{S_n} &= \frac{\dfrac{14!}{(14-2n-2)!2^{n+1}(n+1)!}} {\dfrac{14!}{(14-2n)!2^n n!}} [4pt] &= \frac{(14-2n)(13-2n)}{2(n+1)} \end{aligned} $$

よって、

$$ \frac{S_{n+1}}{S_n}>1 $$

となる条件は

$$ \frac{(14-2n)(13-2n)}{2(n+1)}>1 $$

である。分母は正なので、

$$ (14-2n)(13-2n)>2(n+1) $$

を解けばよい。

左辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} (14-2n)(13-2n) &= 182-54n+4n^2 \end{aligned} $$

であるから、

$$ 182-54n+4n^2>2n+2 $$

すなわち

$$ 4n^2-56n+180>0 $$

となる。両辺を4で割ると、

$$ n^2-14n+45>0 $$

であり、

$$ (n-5)(n-9)>0 $$

となる。

したがって、

$$ n<5 \quad \text{または} \quad n>9 $$

である。ここで $n=1,2,\dots,6$ なので、

$$ n=1,2,3,4 $$

である。

最後に、$S_n$ を最大にする $n$ を求める。

上で求めた結果より、

$$ \frac{S_{n+1}}{S_n}>1 $$

となるのは $n=1,2,3,4$ である。したがって、

$$ S_1<S_2<S_3<S_4<S_5 $$

である。

また、$n=5$ のときは

$$ \begin{aligned} \frac{S_6}{S_5} &= \frac{(14-10)(13-10)}{2\cdot 6} \\ \frac{4\cdot 3}{12} \\ 1 \end{aligned} $$

であるから、

$$ S_6=S_5 $$

である。

さらに、$n=6$ のときは

$$ \begin{aligned} \frac{S_7}{S_6} &= \frac{(14-12)(13-12)}{2\cdot 7} \\ \frac{2}{14} \\ \frac17<1 \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ S_1<S_2<S_3<S_4<S_5=S_6>S_7 $$

となるので、$S_n$ を最大にするのは

$$ n=5,6 $$

である。

解説

この問題では、2人組を作るときの重複の処理が中心である。

$2n$ 人を選んでから組に分けると考えると、残る人の扱いを自然に処理できる。また、2人組の中の順序と、組どうしの順序は区別しないので、それぞれ $2^n$ と $n!$ で割る必要がある。

後半は $S_n$ を直接計算して比較するよりも、比 $\dfrac{S_{n+1}}{S_n}$ を調べる方が効率的である。比が $1$ より大きい間は増加し、$1$ に等しければ同じ値、$1$ より小さくなれば減少する。

答え

(1)

$$ 15 $$

(2)

$$ \begin{aligned} S_n &= {}*{14}C*{2n}\frac{(2n)!}{(2!)^n n!} \\ \frac{14!}{(14-2n)!2^n n!} \quad (n=1,2,\dots,7) \end{aligned} $$

(3)

$$ n=1,2,3,4 $$

(4)

$$ n=5,6 $$