数学A 場合の数 問題 8 解説

方針・初手

男女が交互に並ぶには、人数の多い女子が両端に来る形しかない。したがって、まず性別の並び方を決め、その後に男子・女子をそれぞれ並べ替える。

解法1

男子が $3$ 人、女子が $4$ 人であり、女子の方が $1$ 人多い。

男女が交互に並ぶには、性別の並びは

$$ 女，男，女，男，女，男，女 $$

の形に限られる。

男子から始めると

$$ 男，女，男，女，男，女 $$

までで終わり、女子が $1$ 人余ってしまうため、男女交互にはならない。

したがって、女子の入る位置は $4$ か所、男子の入る位置は $3$ か所である。

女子 $4$ 人の並べ方は

$$ 4! $$

通りであり、男子 $3$ 人の並べ方は

$$ 3! $$

通りである。

よって、求める並べ方は

$$ 4! \times 3! = 24 \times 6 = 144 $$

通りである。

解説

人数が異なる男女を交互に並べる問題では、人数の多い方が両端に来る必要がある。

今回は女子が男子より $1$ 人多いので、性別の並びは

$$ 女男女男女男女 $$

の一通りに固定される。

その後、女子同士・男子同士をそれぞれ並べ替えればよい。性別の並びを複数あると誤って数えると、重複や不可能な並びを含めてしまう点に注意する。

答え

$$ 144 $$

通り