数学A 場合の数 問題 10 解説

方針・初手

直線状の席では、左から右への位置を区別して数える。円形のテーブルでは、回転して一致する座り方は同じとみなすので、まず1人を固定して数える。

解法1

まず、6人はすべて区別できるものとして数える。

（1） 6つの席に1列に座る場合を考える。

両親が両端に座るには、両端の2席に両親を並べ、残り4席に4人の子どもを並べればよい。

両親の並べ方は $2!$ 通り、子どもの並べ方は $4!$ 通りであるから、

$$ 2!\cdot 4!=2\cdot 24=48 $$

よって、$[ア]=48$ である。

次に、両親の間に少なくとも1人の子どもが座る場合を数える。これは、両親が隣り合わない場合である。

6人を自由に並べる方法は

$$ 6!=720 $$

通りである。

このうち、両親が隣り合う場合を除く。両親を1つのかたまりとみなすと、このかたまりと4人の子どもの合計5つを並べることになる。かたまりの中で両親の並び方が $2!$ 通りあるので、両親が隣り合う場合は

$$ 5!\cdot 2!=120\cdot 2=240 $$

通りである。

したがって、両親が隣り合わない場合は

$$ 6!-5!\cdot 2!=720-240=480 $$

である。

よって、$[イ]=480$ である。

（2） 円形のテーブルに6人が座る場合を考える。

円形の座り方では、全員を同時に回転させたものは同じ座り方である。そこで、1人を固定して、残り5人を並べればよい。

したがって、6人が自由に座る場合の数は

$$ (6-1)!=5!=120 $$

である。

よって、$[ウ]=120$ である。

次に、両親が向かい合って座る場合を数える。

円形に6席あるので、ある席の向かい側の席は1つに決まる。回転による重複をなくすために、まず父を1つの席に固定する。このとき、母が向かい側に座る位置は1通りに決まる。

残り4席に4人の子どもを並べる方法は

$$ 4!=24 $$

通りである。

したがって、両親が向かい合って座る場合の数は

$$ 24 $$

である。

よって、$[エ]=24$ である。

解説

直線状の席では、各席の位置がすべて区別されるため、通常の順列として数える。一方、円形のテーブルでは、回転して一致する配置を同じとみなすため、1人を固定してから残りを並べるのが基本である。

「両親の間に少なくとも1人の子どもが座る」は、直線状では「両親が隣り合わない」と言い換えられる。直接数えるよりも、全体から両親が隣り合う場合を引く方が処理しやすい。

円形で「向かい合う」を扱うときは、6席の円では各席に対して向かい側の席がちょうど1つあることを使う。父を固定すれば、母の席は自動的に決まり、あとは子ども4人の並べ方だけを数えればよい。

答え

(1)

$$ [ア]=48,\qquad [イ]=480 $$

(2)

$$ [ウ]=120,\qquad [エ]=24 $$