数学A 場合の数 問題 11 解説

方針・初手

白玉が $1$ 個だけであることに注目する。白玉を基準位置に固定すれば、回転による重複は消える。

残りは、白玉のまわりに赤玉 $2$ 個、青玉 $4$ 個、黄玉 $6$ 個を円周上に並べる問題になる。ただし、ネックレスは裏返して一致するものを同一視するので、並びとその逆順を同じものとして数える。

解法1

白玉を基準として固定する。すると、残りの $12$ 箇所に赤玉 $2$ 個、青玉 $4$ 個、黄玉 $6$ 個を並べればよい。

裏返しを考えないとき、並べ方は

$$ \frac{12!}{2!4!6!} $$

である。

ここで、裏返しても同じになる並び、すなわち左右対称な並びを数える。

白玉を固定した状態で裏返すと、残りの $12$ 箇所は $6$ 組の対になる。左右対称になるためには、それぞれの対に同じ色の玉が入る必要がある。

赤玉 $2$ 個は赤の対が $1$ 組、青玉 $4$ 個は青の対が $2$ 組、黄玉 $6$ 個は黄の対が $3$ 組となる。よって、$6$ 組の対に

$$ \text{赤 }1\text{ 組},\quad \text{青 }2\text{ 組},\quad \text{黄 }3\text{ 組} $$

を割り当てる方法は

$$ \frac{6!}{1!2!3!} $$

である。

裏返しで同じになるものを同一視するとき、通常は $2$ 個ずつ対応するが、左右対称なものは自分自身と対応する。したがって求める個数は

$$ \frac{1}{2} \left( \frac{12!}{2!4!6!} + \frac{6!}{1!2!3!} \right) $$

である。

計算すると、

$$ \frac{12!}{2!4!6!}=13860 $$

また、

$$ \frac{6!}{1!2!3!}=60 $$

だから、

$$ \frac{13860+60}{2}=6960 $$

となる。

解法2

バーンサイドの補題で数える。

玉は全部で

$$ 1+2+4+6=13 $$

個である。ネックレスでは回転と裏返しを同一視するので、正 $13$ 角形の二面体群を考える。群の要素数は

$$ 2\cdot 13=26 $$

である。

恒等変換で固定される並びは、同色の玉を区別しない円周上の位置への配置なので

$$ \frac{13!}{1!2!4!6!} $$

である。

次に、恒等変換以外の回転を考える。$13$ は素数であるため、非自明な回転で固定されるには、すべての位置が同じ色でなければならない。しかし、今回は玉の色の個数が $1,2,4,6$ と分かれているので、そのような配置は存在しない。したがって、非自明な回転で固定される配置は $0$ 個である。

裏返しについて考える。$13$ 個の玉のネックレスでは、各反転軸は $1$ 個の玉を固定し、残り $12$ 個を $6$ 組の対に分ける。

反転で固定されるためには、対になった位置には同じ色の玉が入る必要がある。よって、固定される軸上の玉だけが奇数個の色でなければならない。

今回、奇数個の色は白玉 $1$ 個だけである。したがって、反転軸上に白玉が置かれる必要がある。

残りの $6$ 組には、赤の対 $1$ 組、青の対 $2$ 組、黄の対 $3$ 組を置けばよいので、反転 $1$ つあたり固定される配置は

$$ \frac{6!}{1!2!3!}=60 $$

である。

反転は $13$ 個あるので、バーンサイドの補題より求める個数は

$$ \frac{1}{26} \left( \frac{13!}{1!2!4!6!} + 13\cdot 60 \right) $$

である。

ここで、

$$ \frac{13!}{1!2!4!6!}=180180 $$

だから、

$$ \begin{aligned} \frac{180180+780}{26} &= \frac{180960}{26} \\ 6960 \end{aligned} $$

である。

解説

白玉が $1$ 個だけであるため、白玉を基準に固定する解法が最も自然である。これにより回転の処理を先に消すことができ、残る問題は「順列を逆順と同一視する」だけになる。

注意すべき点は、裏返しで一致する並びを単純に $2$ で割ってはいけないことである。左右対称な並びは裏返しても自分自身になるため、その分を別に数えて補正する必要がある。

この問題では左右対称な並びが

$$ \frac{6!}{1!2!3!}=60 $$

個あることが、数え上げの核心である。

答え

$$ 6960 $$