数学A 場合の数 問題 16 解説

方針・初手

同じ数字を含む順列なので、まず重複を考慮して並べ方を数える。ただし、$0$ が先頭に来ると $6$ 桁の整数にならないため、その場合を除く。

解法1

$0,1,1,2,2,2$ の $6$ 個をすべて並べる方法を数える。

$1$ が $2$ 個、$2$ が $3$ 個あるので、重複を考慮すると、並べ方の総数は

$$ \frac{6!}{2!3!}=60 $$

である。

このうち、先頭が $0$ であるものは $6$ 桁の整数ではない。先頭を $0$ に固定すると、残りは

$$ 1,1,2,2,2 $$

を $5$ か所に並べればよい。

したがって、その数は

$$ \frac{5!}{2!3!}=10 $$

である。

よって、求める $6$ 桁の整数の個数は

$$ 60-10=50 $$

である。

解法2

先頭に来る数字で場合分けして数える。$6$ 桁の整数にするには、先頭は $1$ または $2$ でなければならない。

（i） 先頭が $1$ のとき

残りの数字は

$$ 0,1,2,2,2 $$

である。

$2$ が $3$ 個あるので、並べ方は

$$ \frac{5!}{3!}=20 $$

通りである。

（ii） 先頭が $2$ のとき

残りの数字は

$$ 0,1,1,2,2 $$

である。

$1$ が $2$ 個、$2$ が $2$ 個あるので、並べ方は

$$ \frac{5!}{2!2!}=30 $$

通りである。

したがって、求める個数は

$$ 20+30=50 $$

である。

解説

この問題では、「同じ数字を含む並べ方」と「先頭に $0$ を置けない」という2点を同時に処理する必要がある。

全体から先頭が $0$ の場合を引く解法1が最も標準的である。特に、$0$ を含む数字の並べ替えで整数を作る問題では、まず全体を数えてから不適切なものを除く方針が有効である。

解法2のように、先頭の数字を $1$ または $2$ に分けてもよい。この方法では、最初から $6$ 桁になる場合だけを数えるため、引き算を使わずに処理できる。

答え

$$ 50 $$

したがって、$[,50,]$ 通りである。