数学A 場合の数 問題 15 解説

方針・初手

3人の委員を選ぶだけで、選ぶ順序は関係ない。したがって組合せを用いる。

少なくとも1人が女子である場合は、直接「女子が1人、2人、3人」と分けてもよいが、全体から「女子が0人、すなわち男子だけ3人」を除く方が速い。

解法1

全部で男子7人、女子5人なので、全体は12人である。

この中から3人を選ぶ選び方は

$$ {}_{12}C_3 $$

である。よって

$$ {}_{12}C_3=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}=220 $$

となる。したがって

$$ [ア]=220 $$

である。

次に、少なくとも1人が女子である選び方を求める。

これは全体の選び方から、3人全員が男子である選び方を除けばよい。3人全員が男子である選び方は、男子7人から3人を選ぶので

$$ {}_{7}C_3=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35 $$

である。

したがって、少なくとも1人が女子である選び方は

$$ {}*{12}C_3-{}*{7}C_3=220-35=185 $$

である。よって

$$ [イ]=185 $$

である。

解法2

少なくとも1人が女子である場合を、女子の人数で場合分けする。

（i） 女子が1人、男子が2人の場合

女子5人から1人、男子7人から2人を選ぶので

$$ {}*{5}C_1{}*{7}C_2=5\cdot 21=105 $$

である。

（ii） 女子が2人、男子が1人の場合

女子5人から2人、男子7人から1人を選ぶので

$$ {}*{5}C_2{}*{7}C_1=10\cdot 7=70 $$

である。

（iii） 女子が3人、男子が0人の場合

女子5人から3人を選ぶので

$$ {}_{5}C_3=10 $$

である。

以上より、少なくとも1人が女子である選び方は

$$ 105+70+10=185 $$

である。

解説

「選び方」とあるので、順列ではなく組合せを使う点が重要である。3人を選んだ後の並び順は考えない。

また、「少なくとも1人が女子」は条件を満たす場合をすべて数えるより、条件を満たさない場合を全体から引く方が簡潔である。この問題では、条件を満たさない場合は「3人全員が男子」の1通りの型だけなので、補集合を使うのが最も速い。

答え

$$ [ア]=220 $$

$$ [イ]=185 $$