数学A 場合の数 問題 18 解説

方針・初手

対角線は「2つの頂点を結ぶ線分」から「辺」を除いて数える。

また、三角形については、$n$ 個の頂点から3つ選んでできる三角形のうち、「少なくとも1つの辺を $n$ 角形と共有するもの」を除けばよい。

解法1

$n$ 角形の頂点から2つを選ぶと、線分が1本定まる。その総数は

$$ {}_n\mathrm{C}_{2}=\frac{n(n-1)}{2} $$

である。

このうち、$n$ 角形の辺は $n$ 本あるので、対角線の本数 $f(n)$ は

$$ f(n)={}_n\mathrm{C}_{2-n} $$

である。したがって、

$$ f(n)=\frac{n(n-1)}{2}-n =\frac{n(n-3)}{2} $$

となる。

よって、

$$ f(4)=\frac{4(4-3)}{2}=2 $$

$$ f(5)=\frac{5(5-3)}{2}=5 $$

である。

次に、$g(n)$ を考える。

$n$ 角形の頂点から3つを選ぶと三角形が1つできるので、三角形全体の個数は

$$ {}_n\mathrm{C}_{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6} $$

である。

ここから、$n$ 角形と1つ以上の辺を共有する三角形を除く。

$n$ 角形のある辺を1本固定する。この辺の両端を三角形の2頂点として使うと、残りの1頂点は他の $n-2$ 個の頂点から選べる。したがって、一見すると共有する辺をもつ三角形は

$$ n(n-2) $$

個あるように見える。

しかし、3つの連続する頂点でできる三角形は、$n$ 角形の辺を2本共有するため、2回数えられている。

3つの連続する頂点の選び方は $n$ 通りあるので、重複分 $n$ を引く。よって、$n$ 角形と少なくとも1つの辺を共有する三角形の個数は

$$ n(n-2)-n=n(n-3) $$

である。

したがって、

$$ g(n)={}_n\mathrm{C}_{3-n(n-3)} $$

$$ \begin{aligned} g(n) &=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-n(n-3)\\ &=\frac{n{(n-1)(n-2)-6(n-3)}}{6}\\ &=\frac{n(n^2-3n+2-6n+18)}{6}\\ &=\frac{n(n^2-9n+20)}{6}\\ &=\frac{n(n-4)(n-5)}{6} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ g(6)=\frac{6(6-4)(6-5)}{6}=2 $$

$$ g(7)=\frac{7(7-4)(7-5)}{6}=7 $$

である。

解法2

$g(n)$ は、円周上に並んだ $n$ 個の頂点から、互いに隣り合わない3頂点を選ぶ問題として数えることもできる。

選んだ3頂点の間にある、選ばれていない頂点の個数を順に $a,b,c$ とする。

$n$ 角形と辺を共有しないためには、選んだ頂点同士が隣り合ってはいけない。したがって、それぞれの間には少なくとも1つの頂点が必要であるから、

$$ a\geqq 1,\quad b\geqq 1,\quad c\geqq 1 $$

である。

選んでいない頂点は全部で $n-3$ 個なので、

$$ a+b+c=n-3 $$

を満たす正の整数解の個数を考える。

正の整数解の個数は

$$ {}_{n-4}\mathrm{C}_{2}=\frac{(n-4)(n-5)}{2} $$

である。

ただし、この数え方では「最初に選ぶ頂点」を1つ固定して順に見ている。最初の頂点の選び方は $n$ 通りあるが、1つの三角形は3つの頂点のどれを最初にしても同じ三角形として数えられるので、3で割る。

したがって、

$$ g(n)=\frac{n}{3}\cdot \frac{(n-4)(n-5)}{2} =\frac{n(n-4)(n-5)}{6} $$

である。

解説

対角線の本数は、全ての2頂点の組から辺を除くのが基本である。

三角形の数え上げでは、「条件を満たすものを直接数える」よりも、「全体から条件に反するものを引く」方が処理しやすい。特に、3つの連続する頂点でできる三角形は辺を2本共有するため、重複して数えられる点に注意する必要がある。

答え

(1)

$$ \boxed{\text{ア}=2,\quad \text{イ}=5,\quad \text{サ}=\frac{n(n-3)}{2}} $$

(2)

$$ \boxed{\text{エ}=2,\quad \text{オ}=7,\quad \text{カ}=\frac{n(n-4)(n-5)}{6}} $$