数学A 場合の数 問題 19 解説

方針・初手

円形の並びでは、全体を回転して同じになるものを同一視するので、$n$個の異なるものを円形に並べる方法は $(n-1)!$ 通りである。

女子が隣り合う条件は「女子全体を1つのかたまり」として扱い、女子が隣り合わない条件は「先に男子を円形に並べ、そのすき間に女子を入れる」と考える。

解法1

男子5人、女子3人はいずれも区別する。

まず全員を自由に円形に並べる方法は

$$ (8-1)!=7! $$

通りである。

女子3人が隣り合う場合

女子3人を1つのかたまりとみなす。このとき、女子のかたまり1個と男子5人の合計6個を円形に並べればよい。

したがって、外側の並べ方は

$$ (6-1)!=5! $$

通りである。

また、女子3人のかたまりの内部の並べ方は

$$ 3! $$

通りである。

よって

$$ 5!\cdot 3!=120\cdot 6=720 $$

である。

したがって、

$$ [ア]=720 $$

である。

女子が隣り合わない場合

まず男子5人を円形に並べる。これは

$$ (5-1)!=4! $$

通りである。

男子5人を円形に並べると、男子どうしの間のすき間は5か所できる。女子どうしが隣り合わないためには、この5か所のすき間から3か所を選び、それぞれに女子を1人ずつ入れればよい。

すき間の選び方は

$$ {}_5 C_3 $$

通りであり、女子3人の並べ方は

$$ 3! $$

通りである。

よって

$$ 4!\cdot {}_5 C_3 \cdot 3! =24\cdot 10\cdot 6 =1440 $$

である。

したがって、

$$ [イ]=1440 $$

である。

特定の男女 $A,B$ が隣り合わない場合

全体の円順列は

$$ 7!=5040 $$

通りである。

このうち、特定の男女 $A,B$ が隣り合う場合を引く。$A,B$ を1つのかたまりとみなすと、かたまり1個と残り6人の合計7個を円形に並べることになる。

外側の並べ方は

$$ (7-1)!=6! $$

通りである。

また、かたまりの内部は $AB,BA$ の2通りである。

したがって、$A,B$ が隣り合う座り方は

$$ 6!\cdot 2=720\cdot 2=1440 $$

通りである。

よって、$A,B$ が隣り合わない座り方は

$$ 7!-6!\cdot 2 =5040-1440 =3600 $$

である。

したがって、

$$ [ウ]=3600 $$

である。

女子が隣り合わず、かつ特定の男女 $A,B$ が隣り合わない場合

まず、女子が隣り合わない座り方は

$$ 1440 $$

通りである。

このうち、特定の男女 $A,B$ が隣り合ってしまう場合を引く。

男子5人を円形に並べる方法は

$$ 4! $$

通りである。

このとき、特定の男子 $A$ の両隣にあたるすき間は2か所ある。特定の女子 $B$ がこのどちらかのすき間に入ると、$A$ と $B$ は隣り合う。

まず $B$ を入れるすき間の選び方は2通りである。

残りの女子2人は、残り4か所のすき間から2か所を選んで入れる。したがって、その入れ方は

$$ {}_4 C_2\cdot 2! $$

通りである。

よって、女子が隣り合わない座り方のうち、$A,B$ が隣り合うものは

$$ 4!\cdot 2\cdot {}_4 C_2\cdot 2! =24\cdot 2\cdot 6\cdot 2 =576 $$

通りである。

したがって、求める座り方は

$$ 1440-576=864 $$

である。

よって、

$$ [エ]=864 $$

である。

解説

円形の座り方では、まず回転の重複を除くために「円順列」として数える必要がある。直線上の並べ方と同じ感覚で $8!$ から始めると、全体を8倍して数えてしまう。

女子が隣り合う条件では、女子3人を1つのかたまりとして扱うのが基本である。一方、女子が隣り合わない条件では、先に男子を円形に固定し、その間にできる5つのすき間に女子を入れるのが典型的な処理である。

最後の条件では、「女子が隣り合わない」という条件を保ったまま、さらに $A,B$ が隣り合う場合を除く。ここで全体から単純に $A,B$ が隣り合う場合を引くと、女子どうしが隣り合う場合まで混ざるため誤りである。

答え

$$ [ア]=720,\qquad [イ]=1440,\qquad [ウ]=3600,\qquad [エ]=864 $$