数学A 場合の数 問題 20 解説

方針・初手

15冊の本はすべて異なるので、基本は「どの本を選ぶか」を組合せで数える。

ただし、「子供に分ける」は受け取る人が区別される。一方、「組に分ける」は組そのものに名前がないので、同じ冊数の組が複数ある場合は、組の入れ替えによる重複を割る必要がある。

解法1

（1） 6冊、5冊、4冊の3組に分ける。

まず6冊の組を選び、次に残り9冊から5冊の組を選べば、残り4冊が最後の組になる。

冊数が $6,5,4$ とすべて異なるため、組の区別をあとから割る必要はない。したがって、

$$ \begin{aligned} {}_{15}C_6 \cdot {}_9C_5 &= \frac{15!}{6!9!}\cdot \frac{9!}{5!4!} \\ \frac{15!}{6!5!4!} \end{aligned} $$

である。

計算すると、

$$ \begin{aligned} {}_{15}C_6 \cdot {}_9C_5 &= 5005 \cdot 126 \\ 630630 \end{aligned} $$

となる。

（2） 5冊ずつ3人の子供に分ける。

3人の子供は区別される。したがって、子供を $A,B,C$ として、まず $A$ に渡す5冊を選び、次に残り10冊から $B$ に渡す5冊を選べば、残り5冊が $C$ に渡る。

よって、

$$ \begin{aligned} {}*{15}C_5 \cdot {}*{10}C_5 &= \frac{15!}{5!10!}\cdot \frac{10!}{5!5!} \\ \frac{15!}{5!5!5!} \end{aligned} $$

である。

計算すると、

$$ \begin{aligned} {}*{15}C_5 \cdot {}*{10}C_5 &= 3003 \cdot 252 \\ 756756 \end{aligned} $$

となる。

（3） 5冊ずつ3組に分ける。

(2) と違い、3つの組には名前がない。まず仮に3つの組を区別して考えると、(2) と同じく

$$ \frac{15!}{5!5!5!} $$

通りである。

しかし、3つの組は区別されないので、同じ分け方を組の並べ方 $3!$ 通りだけ重複して数えている。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3!}\cdot \frac{15!}{5!5!5!} &= \frac{15!}{(5!)^3 3!} \end{aligned} $$

である。

計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{756756}{6} &= 126126 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の核心は、「分ける相手や組が区別されるか」を見分けることである。

(1) は組そのものに名前はないが、冊数が $6,5,4$ と異なるため、6冊の組、5冊の組、4冊の組を自然に区別できる。したがって $3!$ で割らない。

(2) は3人の子供が区別されるので、誰がどの5冊を受け取るかまで別の分け方として数える。

(3) は5冊ずつの3組であり、どの組も同じ条件なので、組の入れ替えによる重複を $3!$ で割る必要がある。

答え

(1)

$$ 630630 $$

(2)

$$ 756756 $$

(3)

$$ 126126 $$