数学A 場合の数 問題 22 解説

方針・初手

縦線 $x=0,1,2,3,4,5$ から2本、横線 $y=0,1,2,3$ から2本を選ぶと長方形が1つ定まる。

また、幅を $m$、高さを $n$ とすると、幅 $m$ の選び方は $6-m$ 通り、高さ $n$ の選び方は $4-n$ 通りである。この数え方を使って、正方形や面積指定の長方形を数える。

解法1

まず、長方形全体の個数を求める。

縦線は6本から2本、横線は4本から2本を選べばよいから、

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{2}{}_{4}\mathrm{C}_{2}=15\cdot 6=90 $$

よって、

$$ [ア]=90 $$

である。

次に、正方形の個数を求める。

正方形になるには、幅と高さが等しければよい。高さは最大で $3$ なので、正方形の一辺の長さは $1,2,3$ のいずれかである。

一辺の長さが $s$ の正方形について、幅 $s$ の取り方は $6-s$ 通り、高さ $s$ の取り方は $4-s$ 通りである。したがって正方形の個数は

$$ \sum_{s=1}^{3}(6-s)(4-s) $$

である。これを計算すると、

$$ (6-1)(4-1)+(6-2)(4-2)+(6-3)(4-3) =5\cdot 3+4\cdot 2+3\cdot 1 =15+8+3 =26 $$

よって、

$$ [イ]=26 $$

である。

次に、面積が $2$ となる長方形を数える。

幅を $m$、高さを $n$ とすると、面積は $mn$ である。面積が $2$ になる組は

$$ (m,n)=(1,2),(2,1) $$

である。

(i)

$(m,n)=(1,2)$ のとき

幅 $1$ の取り方は $6-1=5$ 通り、高さ $2$ の取り方は $4-2=2$ 通りなので、

$$ 5\cdot 2=10 $$

通りである。

(ii)

$(m,n)=(2,1)$ のとき

幅 $2$ の取り方は $6-2=4$ 通り、高さ $1$ の取り方は $4-1=3$ 通りなので、

$$ 4\cdot 3=12 $$

通りである。

したがって、面積が $2$ となる長方形は

$$ 10+12=22 $$

個である。よって、

$$ [ウ]=22 $$

である。

最後に、面積が $4$ となる長方形を数える。

面積が $4$ になる組は、条件 $1\leq m\leq 5$、$1\leq n\leq 3$ のもとで

$$ (m,n)=(2,2),(4,1) $$

である。$(1,4)$ は高さが $4$ になり、横線が $y=0,1,2,3$ までしかないため作れない。

(i)

$(m,n)=(2,2)$ のとき

幅 $2$ の取り方は $6-2=4$ 通り、高さ $2$ の取り方は $4-2=2$ 通りなので、

$$ 4\cdot 2=8 $$

通りである。

(ii)

$(m,n)=(4,1)$ のとき

幅 $4$ の取り方は $6-4=2$ 通り、高さ $1$ の取り方は $4-1=3$ 通りなので、

$$ 2\cdot 3=6 $$

通りである。

したがって、面積が $4$ となる長方形は

$$ 8+6=14 $$

個である。よって、

$$ [エ]=14 $$

である。

解説

この問題では、縦線と横線をそれぞれ2本ずつ選べば長方形が決まる、という基本に立つことが重要である。

さらに、幅 $m$ の長方形を作るには、左端の縦線を $x=0,1,\dots,5-m$ から選べるので $6-m$ 通りある。同様に、高さ $n$ の取り方は $4-n$ 通りである。

面積を指定された長方形では、まず $mn=2$ や $mn=4$ を満たす幅と高さの組を列挙し、その後で各組について位置の取り方を数える。特に、面積 $4$ の場合の $(1,4)$ は高さが範囲外なので数えない点に注意する。

答え

$$ [ア]=90 $$

$$ [イ]=26 $$

$$ [ウ]=22 $$

$$ [エ]=14 $$