数学A 場合の数 問題 25 解説

方針・初手

同じ数字を含む順列の数を数える問題である。

全体の個数は、$1,1,2,2,3,3$ の重複を考慮して数える。次に、$220000$ より大きいかどうかは上位の桁から比較すればよい。

解法1

まず、$1,1,2,2,3,3$ をすべて使ってできる $6$ 桁の整数の総数を求める。

$6$ 個の数字を並べるが、$1,2,3$ がそれぞれ $2$ 個ずつあるので、同じ数字の入れ替えを除くと

$$ \frac{6!}{2!2!2!}=90 $$

である。したがって、全体は $90$ 個である。

次に、$220000$ より大きいものを数える。

最上位の数字で場合分けする。

（i） 最上位が $3$ の場合

この場合は必ず $220000$ より大きい。

残りの数字は $1,1,2,2,3$ であるから、並べ方は

$$ \frac{5!}{2!2!}=30 $$

である。

（ii） 最上位が $2$ の場合

$220000$ と比較するので、次に十万の位を見る。

最初が $2$ のあと、残りは $1,1,2,3,3$ である。

2桁目が $3$ なら、$23\cdots$ となり、必ず $220000$ より大きい。このとき残りは $1,1,2,3$ であるから、

$$ \frac{4!}{2!}=12 $$

通りである。

2桁目が $2$ なら、$22\cdots$ となる。3桁目以降には $0$ は現れず、少なくとも $1$ 以上の数字が入るので、必ず $220000$ より大きい。このとき残りは $1,1,3,3$ であるから、

$$ \frac{4!}{2!2!}=6 $$

通りである。

2桁目が $1$ なら $21\cdots$ となり、$220000$ より小さいので数えない。

よって、$220000$ より大きいものは

$$ 30+12+6=48 $$

個である。

解法2

補集合を用いて、$220000$ 以下のものを数えてもよい。

全体は解法1と同様に

$$ \frac{6!}{2!2!2!}=90 $$

個である。

$220000$ 以下になるのは、まず最上位が $1$ の場合である。このとき残りは $1,2,2,3,3$ なので、

$$ \frac{5!}{2!2!}=30 $$

通りである。

次に、最上位が $2$ の場合を考える。$220000$ 以下になるには、2桁目が $1$ でなければならない。2桁目が $2$ または $3$ なら $220000$ より大きくなる。

最初の2桁が $21$ のとき、残りは $1,2,3,3$ であるから、

$$ \frac{4!}{2!}=12 $$

通りである。

したがって、$220000$ 以下のものは

$$ 30+12=42 $$

個である。

よって、$220000$ より大きいものは

$$ 90-42=48 $$

個である。

解説

重複を含む並べ方では、同じ数字の入れ替えを割って数えるのが基本である。

また、$220000$ との大小比較では、すべての桁を調べる必要はない。上位の桁から見て、最初に異なる桁で大小が決まる。今回は使える数字が $1,2,3$ だけで $0$ がないため、$22\cdots$ となった時点で必ず $220000$ より大きい点が重要である。

答え

$$ \boxed{\text{ア}=90} $$

$$ \boxed{\text{イ}=48} $$