数学A 場合の数 問題 26 解説

方針・初手

ペンダントを基準にしてネックレスを切り開くと、ペンダントの両隣はともにダイヤモンドであるから、残りは

$$ D\ \boxed{\text{ガラス玉 }g\text{ 個，ダイヤモンド }d-2\text{ 個}}\ D $$

という一直線の並びを考えればよい。

ただし、ネックレスは裏返して一致するものを同じ作り方とみなすので、中央の列とその逆順を同一視する。したがって、全体の並べ方の数と、逆順にしても変わらない対称な並びの数を数え、平均を取る。

解法1

まず

$$ r=d-2 $$

とおく。ペンダントの両隣に置くダイヤモンド2個を先に決めると、残りはガラス玉 $g$ 個とダイヤモンド $r$ 個である。

(1)

ペンダントを基準に切り開くと、中央には長さ

$$ g+r=g+d-2 $$

の列ができる。この列の中にダイヤモンド $r$ 個を置く場所を選べばよいから、左右を区別して数えた並びの総数は

$$ {}_{g+d-2}\mathrm{C}_{d-2} $$

である。

次に、この列を逆順にしても変わらないものを数える。長さ $g+d-2$ の列が左右対称であるには、ガラス玉 $g$ 個とダイヤモンド $d-2$ 個の個数のうち、奇数個であるものが高々1種類でなければならない。

したがって、$g$ と $d-2$ がともに奇数のとき、左右対称な並びは存在しない。

一方、$g$ と $d-2$ がともに奇数でないとき、左半分を決めれば全体が決まる。左半分に入るダイヤモンドの個数は

$$ \left\lfloor \frac{d-2}{2} \right\rfloor $$

であり、左半分の長さは

$$ \left\lfloor \frac{g+d-2}{2} \right\rfloor $$

である。よって、左右対称な並びの数は

$$ {}_{\left\lfloor \frac{g+d-2}{2} \right\rfloor}\mathrm{C}_{\left\lfloor \frac{d-2}{2} \right\rfloor} $$

である。

ゆえに、裏返して一致するものを同じとみなした作り方の数は

$$ \frac{1}{2}\left\{{}_{g+d-2}\mathrm{C}_{d-2}+A\right\} $$

である。ただし

$$ A= \begin{cases} 0 & \text{$g$ と $d-2$ がともに奇数のとき},\\ \displaystyle {}_{\left\lfloor \frac{g+d-2}{2} \right\rfloor}\mathrm{C}_{\left\lfloor \frac{d-2}{2} \right\rfloor} & \text{それ以外のとき}. \end{cases} $$

(2)

どの2個のダイヤモンドも隣り合わないようにする。

ペンダントの両隣に置かれる2個のダイヤモンドは、ペンダントをはさんでいるので互いに隣り合ってはいない。ただし、中央の列の端にダイヤモンドを置くと、ペンダントの隣のダイヤモンドと隣り合ってしまう。

したがって、中央の列では、ガラス玉 $g$ 個をまず並べ、その隣り合うガラス玉どうしの間にだけ、残りのダイヤモンド $d-2$ 個を入れることになる。

ガラス玉 $g$ 個の間のすき間は

$$ g-1 $$

個である。各すき間には高々1個のダイヤモンドしか入れられないので、左右を区別して数えた並びの数は

$$ {}_{g-1}\mathrm{C}_{d-2} $$

である。ただし、$d-2>g-1$ のときは作れないので、この値は $0$ とみなす。

次に、左右対称なものを数える。これは、$g-1$ 個のすき間から $d-2$ 個を選ぶ選び方のうち、左右反転で変わらないものの数である。

すき間の個数を

$$ m=g-1 $$

とする。左右対称な選び方が存在するためには、長さ $m$ の左右対称な列に、選ばれたすき間が $d-2$ 個ある必要がある。

$m$ が偶数で、$d-2$ が奇数のときは、左右対称な選び方は存在しない。なぜなら、中央のすき間がなく、選ばれるすき間の数は左右の対で数えられるため偶数になるからである。

それ以外のとき、左半分のすき間のうち

$$ \left\lfloor \frac{d-2}{2} \right\rfloor $$

個を選べば全体が決まるので、左右対称な選び方の数は

$$ {}_{\left\lfloor \frac{g-1}{2} \right\rfloor}\mathrm{C}_{\left\lfloor \frac{d-2}{2} \right\rfloor} $$

である。

したがって、求める作り方の数は

$$ \frac{1}{2}\left\{{}_{g-1}\mathrm{C}_{d-2}+B\right\} $$

である。ただし

$$ B= \begin{cases} 0 & \text{$g-1$ が偶数で、$d-2$ が奇数のとき},\\ \displaystyle {}_{\left\lfloor \frac{g-1}{2} \right\rfloor}\mathrm{C}_{\left\lfloor \frac{d-2}{2} \right\rfloor} & \text{それ以外のとき}. \end{cases} $$

なお、$d-2>g-1$ のときは、どの2個のダイヤモンドも隣り合わないようにはできないので、答えは $0$ である。

解説

この問題では、ペンダントが1個だけあるため、回転による重複はペンダントを基準に切ることで処理できる。

一方で、ネックレスは裏返して一致するものを同じとみなすので、単に一直線の順列を数えるだけでは2倍に数えてしまう。そこで、列とその逆順を同一視するために、左右対称な列だけを別に数える必要がある。

(2)では、ダイヤモンドを直接並べるよりも、まずガラス玉を並べ、その間のすき間にダイヤモンドを入れると考えるのが自然である。端のすき間はペンダントの隣のダイヤモンドと接してしまうため使えず、使えるのはガラス玉どうしの間の $g-1$ 個のすき間だけである。

答え

(1)

$$ \frac{1}{2}\left\{{}_{g+d-2}\mathrm{C}_{d-2}+A\right\} $$

ただし

$$ A= \begin{cases} 0 & \text{$g$ と $d-2$ がともに奇数のとき},\\ \displaystyle {}_{\left\lfloor \frac{g+d-2}{2} \right\rfloor}\mathrm{C}_{\left\lfloor \frac{d-2}{2} \right\rfloor} & \text{それ以外のとき}. \end{cases} $$

(2)

$d-2>g-1$ のとき

$$ 0 $$

である。

$d-2\leqq g-1$ のとき

$$ \frac{1}{2}\left\{{}_{g-1}\mathrm{C}_{d-2}+B\right\} $$

ただし

$$ B= \begin{cases} 0 & \text{$g-1$ が偶数で、$d-2$ が奇数のとき},\\ \displaystyle {}_{\left\lfloor \frac{g-1}{2} \right\rfloor}\mathrm{C}_{\left\lfloor \frac{d-2}{2} \right\rfloor} & \text{それ以外のとき}. \end{cases} $$