数学A 場合の数 問題 28 解説

方針・初手

「ちょうど2種類の数字から成り立つ」とは、使われている数字の種類がちょうど2個であり、どちらの数字も少なくとも1回は現れるという意味である。

先頭の数字は $0$ にできないので、選ぶ2種類の数字に $0$ が含まれるかどうかで分けて数える。

解法1

まず、$n$ 桁の場合を考える。そこから $n=4$ を代入すればよい。

(i) 使う2種類の数字がどちらも $0$ でない場合

使う数字の組は、$1,2,\ldots,9$ から2種類を選ぶので、

$$ {}_9C_2=36 $$

通りである。

この2種類の数字を使って $n$ 桁の数を作るとき、先頭が $0$ になる心配はない。各桁には2通りの選び方があるので、全体では $2^n$ 通りある。

ただし、ちょうど2種類の数字を使う必要があるため、1種類しか使っていないものを除く。すなわち、片方の数字だけで作られる数が2通りあるので、

$$ 2^n-2 $$

通りである。

したがって、この場合は

$$ {}_9C_2(2^n-2) $$

通りである。

(ii) 使う2種類の数字の一方が $0$ の場合

もう一方の数字は $1,2,\ldots,9$ から選ぶので、9通りである。

使う数字を $0$ と $a$ とする。ただし $a\neq 0$ とする。このとき、先頭の数字は必ず $a$ でなければならない。

残りの $n-1$ 桁には、それぞれ $0$ または $a$ を入れられるので、一見すると

$$ 2^{n-1} $$

通りである。

ただし、ちょうど2種類の数字を使う必要があるため、残りの $n-1$ 桁がすべて $a$ である場合を除く。この場合は $0$ が一度も現れず、1種類の数字だけからなる。

よって、各 $a$ について

$$ 2^{n-1}-1 $$

通りである。

したがって、この場合は

$$ 9(2^{n-1}-1) $$

通りである。

以上より、$n$ 桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立つものの個数は

$$ {}_9C_2(2^n-2)+9(2^{n-1}-1) $$

である。

これを整理すると、

$$ 36(2^n-2)+9(2^{n-1}-1) $$

である。

特に、$1000$ から $9999$ までの4桁の自然数では $n=4$ として、

$$ 36(2^4-2)+9(2^3-1) $$

となる。

計算すると、

$$ 36\cdot 14+9\cdot 7=504+63=567 $$

である。

解説

この問題では、単に「2種類の数字を選んで並べる」とすると、先頭に $0$ が来る場合や、選んだ2種類のうち片方しか使わない場合を誤って数えてしまう。

そのため、$0$ を含むかどうかで場合分けするのが安全である。特に、$0$ を含む場合は先頭が必ず非零の数字に固定される点が重要である。

答え

(1)

$$ 567 $$

(2)

$n$ 桁の自然数のうち、ちょうど2種類の数字から成り立つものの個数は

$$ {}_9C_2(2^n-2)+9(2^{n-1}-1) $$

すなわち

$$ 36(2^n-2)+9(2^{n-1}-1) $$

である。