数学A 場合の数 問題 29 解説

方針・初手

各箱に入る玉の個数は $0,1,2$ 個だけであり、合計が $n$ 個である。したがって、空き箱の個数が決まると、$2$ 個入る箱の個数も同時に決まることに注目する。

解法1

箱 $i$ に入る玉の個数を $x_i$ とすると、

$$ x_i\in{0,1,2},\qquad x_1+x_2+\cdots+x_n=n $$

である。

空き箱が $r$ 個あるとする。このとき、$2$ 個入る箱の個数を $s$ 個とすると、残りの $n-r-s$ 個の箱には $1$ 個ずつ入る。

合計個数は

$$ 0\cdot r+2s+1\cdot(n-r-s)=n $$

であるから、

$$ 2s+n-r-s=n $$

すなわち

$$ s=r $$

である。

つまり、空き箱が $r$ 個ある入れ方では、必ず

• 空き箱が $r$ 個
• $2$ 個入る箱が $r$ 個
• $1$ 個入る箱が $n-2r$ 個

となる。

まず、空き箱が $1$ 個である入れ方を数える。このとき、$2$ 個入る箱も $1$ 個である。空き箱を選ぶ方法は $n$ 通り、その後、$2$ 個入る箱を選ぶ方法は $n-1$ 通りである。

よって、

$$ n(n-1) $$

通りである。

次に、$1$ 番と $2$ 番の箱のみが空き箱である入れ方を数える。このとき、$2$ 個入る箱は $2$ 個であり、それらは $3$ 番から $n$ 番までの $n-2$ 個の箱から選べばよい。

したがって、

$$ {}_{n-2}\mathrm{C}_{2} =\frac{(n-2)(n-3)}{2} $$

通りである。

次に、空き箱が $2$ 個である入れ方を数える。空き箱を $n$ 個の箱から $2$ 個選び、さらに残りの $n-2$ 個の箱から $2$ 個入る箱を $2$ 個選べばよい。

よって、

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{2}{}_{n-2}\mathrm{C}_{2} =\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac{(n-2)(n-3)}{2} $$

すなわち、

$$ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4} $$

通りである。

一般に、空き箱が $r$ 個である入れ方の総数 $a_r$ は、空き箱を $r$ 個選び、残りの $n-r$ 個の箱から $2$ 個入る箱を $r$ 個選べばよいので、

$$ a_r={}_{n}\mathrm{C}_{r}{}_{n-r}\mathrm{C}_{r} $$

である。

この値が正となるには、$1$ 個入る箱の数 $n-2r$ が $0$ 以上でなければならない。したがって、

$$ 1\leqq r\leqq \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor $$

である。

また、$r\geqq 2$ のとき、

$$ a_r=\frac{n!}{r!r!(n-2r)!} $$

であり、

$$ a_{r-1}=\frac{n!}{(r-1)!(r-1)!(n-2r+2)!} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \frac{a_r}{a_{r-1}} &= \frac{n!}{r!r!(n-2r)!} \cdot \frac{(r-1)!(r-1)!(n-2r+2)!}{n!} \\ &= \frac{(n-2r+2)(n-2r+1)}{r^2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の本質は、空き箱の数と $2$ 個入る箱の数が等しくなる点である。合計が $n$ 個で、箱も $n$ 個あるため、ある箱を空にした分だけ、別の箱に余分に $1$ 個入れなければならない。したがって、空き箱 $r$ 個に対して $2$ 個入る箱も $r$ 個になる。

この対応を使えば、数え上げは単なる組合せになる。$a_r$ の比を求める部分では、階乗表示に直して約分するのが最も安全である。

答え

空き箱が $1$ 個であるような入れ方は

$$ n(n-1) $$

通りである。

$1$ 番と $2$ 番の箱のみが空き箱であるような入れ方は

$$ {}_{n-2}\mathrm{C}_{2} =\frac{(n-2)(n-3)}{2} $$

通りである。

空き箱が $2$ 個であるような入れ方は

$$ \begin{aligned} {}_{n}\mathrm{C}_{2}{}_{n-2}\mathrm{C}_{2} &= \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4} \end{aligned} $$

通りである。

$a_r>0$ となるための $r$ の条件は

$$ 1\leqq r\leqq \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor $$

である。

$r\geqq 2$ のとき、

$$ \begin{aligned} \frac{a_r}{a_{r-1}} &= \frac{(n-2r+2)(n-2r+1)}{r^2} \end{aligned} $$

である。