数学A 場合の数 問題 32 解説

方針・初手

同じ文字を含む順列なので、まず重複順列の公式

$$ \frac{n!}{p!q!r!} $$

を用いる。

「$B$ が3個連続」は $BBB$ を1つのかたまりとして扱う。「$A$ が2個隣り合わない」は、全体から $AA$ が隣り合う場合を引くか、先に $B,C$ を並べてすき間に $A$ を入れる。

解法1

9個の文字 $A,A,B,B,B,C,C,C,C$ をすべて並べる。

同じ文字の重複を考慮すると、順列の総数は

$$ \begin{aligned} \frac{9!}{2!3!4!} &= \frac{362880}{2\cdot 6\cdot 24} \\ 1260 \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ [ク]=1260 $$

である。

次に、$B$ 3個が連続している場合を考える。$BBB$ を1つのかたまりとみなすと、並べる対象は

$$ BBB,\ A,\ A,\ C,\ C,\ C,\ C $$

の7個である。

このうち $A$ が2個、$C$ が4個同じなので、並べ方は

$$ \begin{aligned} \frac{7!}{2!4!} &= \frac{5040}{2\cdot 24} \\ 105 \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ [ケ]=105 $$

である。

最後に、$A$ 2個が隣り合わない順列の数を求める。

まず、$A$ 2個が隣り合う場合を数える。$AA$ を1つのかたまりとみなすと、並べる対象は

$$ AA,\ B,\ B,\ B,\ C,\ C,\ C,\ C $$

の8個である。

このうち $B$ が3個、$C$ が4個同じなので、並べ方は

$$ \begin{aligned} \frac{8!}{3!4!} &= \frac{40320}{6\cdot 24} \\ 280 \end{aligned} $$

である。

したがって、$A$ 2個が隣り合わない順列の数は

$$ 1260-280=980 $$

である。

よって、

$$ [コ]=980 $$

である。

解法2

$A$ 2個が隣り合わない順列については、すき間を利用して直接数えることもできる。

まず、$B,B,B,C,C,C,C$ の7個を並べる。この並べ方は

$$ \begin{aligned} \frac{7!}{3!4!} &= \frac{5040}{6\cdot 24} \\ 35 \end{aligned} $$

通りである。

この7個の文字の前後と間には、$A$ を入れられるすき間が8か所ある。

例えば、7個の文字を並べた後のすき間は

$$ \Box\ x_1\ \Box\ x_2\ \Box\ x_3\ \Box\ x_4\ \Box\ x_5\ \Box\ x_6\ \Box\ x_7\ \Box $$

のように8か所である。

$A$ 2個が隣り合わないためには、同じすき間に2個入れてはいけない。よって、8か所のすき間から2か所を選んで $A$ を1個ずつ入れればよい。

したがって、その選び方は

$$ {}_8C_2=28 $$

通りである。

よって、$A$ 2個が隣り合わない順列の数は

$$ 35\cdot 28=980 $$

である。

解説

同じ文字を含む順列では、まず重複を割ることが基本である。

「同じ文字が連続する」という条件では、連続する部分を1つのかたまりとして扱うとよい。今回なら $BBB$ や $AA$ を1つの文字のように扱うことで、通常の重複順列に帰着できる。

一方、「隣り合わない」という条件は、全体から隣り合う場合を引く方法と、すき間に入れる方法の両方が有効である。特に今回の $A$ 2個が隣り合わない条件では、$B,C$ を先に並べて、そのすき間から2か所を選ぶ方法が見通しやすい。

答え

$$ [ク]=1260,\qquad [ケ]=105,\qquad [コ]=980 $$