数学A 場合の数 問題 33 解説

方針・初手

各箱 $A,B,C,D$ は区別されているので、取り出された数の組 $(a,b,c,d)$ は順序つきの組として数える。

最大値に関する条件は、「各成分がどの範囲を動くか」で数えるのが基本である。また、和が $15$ になる条件は、最大和 $16$ からどれだけ不足しているかを見るとよい。

解法1

まず、$a,b,c,d$ はそれぞれ $1,2,3,4$ のいずれかである。

最大の数が $3$ 以下であるとは、$a,b,c,d$ のすべてが $1,2,3$ のいずれかであることを意味する。したがって、それぞれに $3$ 通りずつあり、

$$ 3^4=81 $$

通りである。よって、

$$ [ク]=81 $$

である。

次に、最大の数が $4$ である場合を考える。これは、少なくとも $1$ つは $4$ が出る場合である。

全体の場合の数は、それぞれ $4$ 通りずつなので、

$$ 4^4=256 $$

通りである。このうち最大の数が $3$ 以下である場合は先ほどの $81$ 通りであるから、最大の数が $4$ である場合は

$$ 4^4-3^4=256-81=175 $$

通りである。よって、

$$ [ケ]=175 $$

である。

最後に、

$$ a+b+c+d=15 $$

となる場合を数える。各数は高々 $4$ なので、和の最大値は

$$ 4+4+4+4=16 $$

である。

和が $15$ になるには、最大和 $16$ から $1$ だけ小さくなればよい。したがって、$a,b,c,d$ のうちちょうど $1$ つが $3$ で、残り $3$ つが $4$ でなければならない。

$3$ になる位置は $a,b,c,d$ の $4$ か所から選べるので、

$$ 4 $$

通りである。よって、

$$ [コ]=4 $$

である。

解法2

最大の数が $4$ である場合だけ、直接数えてもよい。

$4$ がちょうど $r$ 個出るとする。ただし $r=1,2,3,4$ である。$4$ が出る位置の選び方は ${}_{4}\mathrm{C}_{r}$ 通りであり、残りの $4-r$ 個は $1,2,3$ のいずれかだから $3^{4-r}$ 通りである。

よって、最大の数が $4$ である場合の数は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{1}3^3+{}_{4}\mathrm{C}_{2}3^2+{}_{4}\mathrm{C}_{3}3+{}_{4}\mathrm{C}_{4} $$

である。これを計算すると、

$$ 4\cdot27+6\cdot9+4\cdot3+1=108+54+12+1=175 $$

となる。

したがって、

$$ [ケ]=175 $$

である。

解説

この問題では、箱 $A,B,C,D$ が区別されているため、同じ数字の並び替えでも異なる場合として数える。たとえば $(3,4,4,4)$ と $(4,3,4,4)$ は別の場合である。

最大値の条件は、補集合で数えると簡潔である。特に「最大が $4$」は「全体」から「最大が $3$ 以下」を引けばよい。

また、和が $15$ の条件は、直接すべての場合を調べるよりも、最大和 $16$ との差を見る方が速い。$16$ から $1$ だけ小さいので、$4$ のうち $1$ つだけが $3$ に下がる場合しかない。

答え

$$ [ク]=81,\qquad [ケ]=175,\qquad [コ]=4 $$