数学A 場合の数 問題 36 解説

方針・初手

男子・女子はそれぞれ区別できる生徒として数える。

一直線に並べる場合は「選んでから並べる」、女子が隣り合わない場合は「男子を先に並べてすき間に女子を入れる」と考える。輪の形では、男子を円順列で先に並べ、その間のすき間に女子を入れる。

解法1

(1)

7人のうち3人を選んで1列に並べるので、これは7人から3人を順に選ぶ順列である。

$$ {}_7P_3=7\cdot 6\cdot 5=210 $$

よって、

$$ [ア]=210 $$

次に、男子4人のうち2人、女子3人のうち1人を選び、その3人を1列に並べる。

選び方は

$$ {}_4C_2\cdot {}_3C_1=6\cdot 3=18 $$

である。選んだ3人の並べ方は $3!$ 通りなので、

$$ {}_4C_2\cdot {}_3C_1\cdot 3! =6\cdot 3\cdot 6 =108 $$

よって、

$$ [イ]=108 $$

(2)

女子が隣り合わないようにするには、まず男子4人を1列に並べる。男子4人の並べ方は

$$ 4! $$

通りである。

男子4人を並べると、女子を入れられる場所は次の5か所である。

$$ _ \ 男 \ _ \ 男 \ _ \ 男 \ _ \ 男 \ _ $$

女子どうしを隣り合わせないためには、この5か所のうち3か所を選び、それぞれに女子を1人ずつ入れればよい。

すき間の選び方は ${}_5C_3$ 通り、女子3人の並べ方は $3!$ 通りである。したがって、

$$ 4!\cdot {}_5C_3\cdot 3! =24\cdot 10\cdot 6 =1440 $$

よって、

$$ [ウ]=1440 $$

(3)

輪の形に並べるので、まず男子4人を円順列として並べる。男子4人の輪の形での並べ方は

$$ (4-1)!=3!=6 $$

通りである。

男子4人を輪に並べると、男子と男子の間のすき間は4か所できる。

女子3人のうち女子2人だけが隣り合うためには、4か所のすき間のうち1か所に女子2人を入れ、別の1か所に残りの女子1人を入れればよい。

女子2人を入れるすき間の選び方は $4$ 通り、女子1人を入れるすき間の選び方は残り $3$ 通りである。また、隣り合う女子2人の選び方は ${}_3C_2$ 通り、その2人の並べ方は $2!$ 通りである。

したがって、

$$ (4-1)!\cdot 4\cdot 3\cdot {}_3C_2\cdot 2! =6\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2 =432 $$

よって、

$$ [エ]=432 $$

解説

隣り合わない条件では、先に片方のグループを固定し、その間の「すき間」を使うのが基本である。

(2)では男子を1列に並べるとすき間が5か所できるので、女子をそのうち3か所に1人ずつ入れる。

(3)では輪の形なので、男子4人を円順列で並べると、すき間は4か所である。「女子2人だけが隣り合う」とは、女子3人を1つのすき間にまとめて入れるのではなく、1つのすき間に女子2人、別のすき間に女子1人を入れるということである。ここを誤ると、女子3人が連続する場合まで数えてしまう。

答え

(1)

$$ [ア]=210,\qquad [イ]=108 $$

(2)

$$ [ウ]=1440 $$

(3)

$$ [エ]=432 $$